数学3 接線・極限との複合 問題 37 解説

方針・初手

(1) $0 < x \leqq 2\pi$ の範囲で $-x < \sin x < x$ が成り立つことを示します。関数 $g(x) = x - \sin x$ および $h(x) = x + \sin x$ の増減を微分を用いて調べます。

(2) 定積分を計算し、三角関数の加法定理（または和と積の公式）を用いて式を整理します。

(3) (2) で求めた $f_2(x)$ の形から $f_n(x)$ の一般項を推測し、数学的帰納法を用いて証明します。

(4) 級数 $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$ は無限等比級数になります。(1) の結果を用いて、公比の絶対値が $1$ より小さいことを確認し、和の公式を適用します。

解法1

(1)

$0 < x \leqq 2\pi$ のとき、$|\sin x| < x$ を示す。これは $-x < \sin x < x$ を示すことと同値である。

関数 $g(x) = x - \sin x$ について、導関数は

$$g'(x) = 1 - \cos x \geqq 0$$

であるから、$g(x)$ は単調に増加する。$g(0) = 0$ であるから、$x > 0$ のとき $g(x) > 0$ となり、

$$x > \sin x$$

が成り立つ。

次に、関数 $h(x) = x + \sin x$ について、導関数は

$$h'(x) = 1 + \cos x \geqq 0$$

であるから、$h(x)$ は単調に増加する。$h(0) = 0$ であるから、$x > 0$ のとき $h(x) > 0$ となり、

$$x > -\sin x \iff -x < \sin x$$

が成り立つ。

以上より、$0 < x \leqq 2\pi$ のとき $-x < \sin x < x$ すなわち $|\sin x| < x$ が成り立つ。（証明終）

(2)

定義より、$f_1(t) = \sin t$ であるから、

$$f_2(x) = \frac{1}{2a} \int_{x-a}^{x+a} f_1(t) dt = \frac{1}{2a} \int_{x-a}^{x+a} \sin t dt$$

$$= \frac{1}{2a} \Bigl[ -\cos t \Bigr]_{x-a}^{x+a} = \frac{1}{2a} \bigl( -\cos(x+a) + \cos(x-a) \bigr)$$

ここで、加法定理 $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$ を用いると

$$-\cos(x+a) + \cos(x-a) = 2\sin x \sin a$$

となるから、

$$f_2(x) = \frac{1}{2a} \cdot 2\sin x \sin a = \frac{\sin a}{a} \sin x$$

(3)

(2)の結果から、一般の自然数 $n$ に対して

$$f_n(x) = \left( \frac{\sin a}{a} \right)^{n-1} \sin x \quad \cdots (*)$$

が成り立つと推測できる。これを数学的帰納法で証明する。

(i) $n=1$ のとき $(*)$ の右辺は $\left(\frac{\sin a}{a}\right)^0 \sin x = \sin x = f_1(x)$ となり、成り立つ。

(ii) $n=k$ （$k$ は自然数）のとき、$(*)$ が成り立つと仮定する。すなわち、

$$f_k(x) = \left( \frac{\sin a}{a} \right)^{k-1} \sin x$$

とする。このとき、$n=k+1$ について

$$f_{k+1}(x) = \frac{1}{2a} \int_{x-a}^{x+a} f_k(t) dt$$

$$= \frac{1}{2a} \int_{x-a}^{x+a} \left( \frac{\sin a}{a} \right)^{k-1} \sin t dt$$

$$= \left( \frac{\sin a}{a} \right)^{k-1} \frac{1}{2a} \int_{x-a}^{x+a} \sin t dt$$

(2)の計算結果より $\frac{1}{2a} \int_{x-a}^{x+a} \sin t dt = \frac{\sin a}{a} \sin x$ であるから、

$$f_{k+1}(x) = \left( \frac{\sin a}{a} \right)^{k-1} \cdot \frac{\sin a}{a} \sin x = \left( \frac{\sin a}{a} \right)^k \sin x$$

となり、$n=k+1$ のときも $(*)$ は成り立つ。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ に対して

$$f_n(x) = \left( \frac{\sin a}{a} \right)^{n-1} \sin x$$

である。

(4)

求める級数は

$$\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\sin a}{a} \right)^{n-1} \sin x$$

であり、これは初項 $\sin x$、公比 $r = \frac{\sin a}{a}$ の無限等比級数である。

定数 $a$ は $0 < a \leqq 2\pi$ を満たすので、(1) で示した不等式において $x=a$ とおくと

$$|\sin a| < a$$

が成り立つ。$a > 0$ であるから、両辺を $a$ で割ると

$$\frac{|\sin a|}{a} < 1 \iff \left| \frac{\sin a}{a} \right| < 1$$

となり、公比 $r$ の絶対値は $1$ より小さい。 したがって、この無限等比級数は収束し、その和は

$$\frac{\sin x}{1 - \frac{\sin a}{a}} = \frac{a \sin x}{a - \sin a}$$

となる。

解説

(1)で証明した不等式が、(4)における無限等比級数の収束条件の確認に利用されるという、丁寧な誘導が敷かれた問題です。関数列の一般項を推測し、数学的帰納法で証明するという流れも頻出のパターンです。(2)の積分計算では、和と積の公式を利用しても同様に整理できます。

答え

(1) 証明略

(2) $f_2(x) = \frac{\sin a}{a} \sin x$

(3) $f_n(x) = \left( \frac{\sin a}{a} \right)^{n-1} \sin x$

(4) $\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) = \frac{a \sin x}{a - \sin a}$