数学3 接線・極限との複合問題 42 解説

方針・初手

与えられた重心の $y$ 座標の公式に、各図形の上端の曲線 $y=f(x)$ と下端の曲線 $y=g(x)$ を当てはめて定積分を計算する。(1) では下端の関数が区間によって変化することに注意して積分区間を分ける。(3) の大小比較では、$\pi$ の値の評価を用いて厳密に不等式を導く。

解法1

(1)

図形 $B$ は、不等式 $x^2 + y^2 \leqq 1$（$y \geqq 0$）で表される半円から、不等式 $x^2 + y^2 < r^2$（$y \geqq 0$）で表される半円を除いた領域である。その面積を $S_B$ とすると、

$$S_B = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 1^2 - \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2 = \frac{\pi}{2}(1 - r^2)$$

$B$ の境界となる曲線を、問題文の条件に合うように $f(x)$ と $g(x)$ で表す。上端の曲線は、区間 $[-1, 1]$ 全体において $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ である。下端の曲線 $g(x)$ は、区間によって異なり、

$$\begin{cases} 0 & (-1 \leqq x \leqq -r) \\ \sqrt{r^2 - x^2} & (-r < x < r) \\ 0 & (r \leqq x \leqq 1) \end{cases}$$

となる。これは $x = \pm r$ において $\sqrt{r^2 - (\pm r)^2} = 0$ となるため、区間 $[-1, 1]$ 全体で連続な関数である。公式を用いて $Y(r)$ を計算する。被積分関数 $\frac{1}{2} \left\{ \{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2 \right\}$ は偶関数であるため、$y$ 軸対称性を利用して $x \geqq 0$ の範囲の積分を 2 倍する。

$$\int_{-1}^{1} \frac{\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2}{2} dx = 2 \int_{0}^{1} \frac{\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2}{2} dx$$

積分を区間 $[0, r]$ と $[r, 1]$ に分けて計算する。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \left( \{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2 \right) dx &= \int_{0}^{r} \left\{ (1 - x^2) - (r^2 - x^2) \right\} dx + \int_{r}^{1} \left\{ (1 - x^2) - 0 \right\} dx \\ &= \int_{0}^{r} (1 - r^2) dx + \int_{r}^{1} (1 - x^2) dx \\ &= \left[ (1 - r^2)x \right]_0^r + \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_r^1 \\ &= r(1 - r^2) + \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( r - \frac{r^3}{3} \right) \\ &= r - r^3 + \frac{2}{3} - r + \frac{r^3}{3} \\ &= \frac{2}{3} - \frac{2}{3}r^3 \\ &= \frac{2}{3}(1 - r^3) \end{aligned}$$

したがって、求める $Y(r)$ は、

$$\begin{aligned} Y(r) &= \frac{1}{S_B} \int_{-1}^{1} \frac{\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2}{2} dx \\ &= \frac{2}{\pi(1 - r^2)} \cdot \frac{2}{3}(1 - r^3) \\ &= \frac{4(1 - r)(1 + r + r^2)}{3\pi(1 - r)(1 + r)} \\ &= \frac{4(r^2 + r + 1)}{3\pi(r + 1)} \end{aligned}$$

(2)

図形 $C$ の面積を $S_C$ とすると、

$$S_C = \int_{-1}^{1} \left\{ \sqrt{1 - x^2} - (\sqrt{1 - x^2} - t) \right\} dx = \int_{-1}^{1} t dx = 2t$$

図形 $C$ について、上端の曲線は $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$、下端の曲線は $g(x) = \sqrt{1 - x^2} - t$ である。公式の分子にあたる定積分を計算する。

$$\begin{aligned} \{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2 &= (1 - x^2) - \left\{ (1 - x^2) - 2t\sqrt{1 - x^2} + t^2 \right\} \\ &= 2t\sqrt{1 - x^2} - t^2 \end{aligned}$$

よって、

$$\begin{aligned} \int_{-1}^{1} \frac{\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2}{2} dx &= \int_{-1}^{1} \left( t\sqrt{1 - x^2} - \frac{t^2}{2} \right) dx \\ &= t \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx - \frac{t^2}{2} \int_{-1}^{1} 1 dx \end{aligned}$$

ここで、$\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx$ は半径 $1$ の半円の面積であるから $\frac{\pi}{2}$ であり、後半の定積分は $\left[ x \right]_{-1}^{1} = 2$ である。したがって、

$$\int_{-1}^{1} \frac{\{f(x)\}^2 - \{g(x)\}^2}{2} dx = t \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{t^2}{2} \cdot 2 = \frac{\pi t}{2} - t^2$$

ゆえに、求める $Z(t)$ は、

$$Z(t) = \frac{1}{2t} \left( \frac{\pi t}{2} - t^2 \right) = \frac{\pi}{4} - \frac{t}{2}$$

(3)

(1), (2) の結果から、それぞれの極限を計算する。

$$\lim_{r \to 1-0} Y(r) = \lim_{r \to 1-0} \frac{4(r^2 + r + 1)}{3\pi(r + 1)} = \frac{4(1 + 1 + 1)}{3\pi(1 + 1)} = \frac{12}{6\pi} = \frac{2}{\pi}$$

$$\lim_{t \to +0} Z(t) = \lim_{t \to +0} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{t}{2} \right) = \frac{\pi}{4}$$

これら 2 つの極限値の大小を比較する。 $\pi > 3$ であるから、両辺が正であることを用いて平方すると $\pi^2 > 9$ となる。さらに $9 > 8$ であるから、$\pi^2 > 8$ が成り立つ。両辺を正の数 $4\pi$ で割ると、

$$\frac{\pi}{4} > \frac{2}{\pi}$$

したがって、極限値の大小関係は以下のようになる。

$$\lim_{r \to 1-0} Y(r) < \lim_{t \to +0} Z(t)$$

解説

図形の重心の $y$ 座標を求める公式が提示されており、その適用方法と正確な積分計算が要求される問題である。 (1) では、半円環の領域を公式に当てはめるために、下端の関数 $g(x)$ を $x$ の区間に応じて場合分けして設定する必要がある。ここで $g(x)$ が連続関数になることを確認し、被積分関数の偶奇性を活用して積分区間を分けて計算を行うとよい。 (3) は極限の大小比較であるが、図形 $B$ で $r \to 1-0$ とした極限も、図形 $C$ で $t \to +0$ とした極限も、図形としてはともに上半円周（弧）に近づいていく。しかし、面積が $0$ に近づく過程の「近づき方」が異なるため、重心の極限値が一致しないという興味深い事実を示している。(1) は曲線の線密度が一定であるような「針金」の重心、(2) は微小な縦線分の集まりの重心と解釈することができる。