数学3 接線・極限との複合問題 43 解説

方針・初手

(1) は $I_0(a)$ を具体的に積分計算し、極限をとる。

(2) は $\sqrt{1+x}$ と $x^n$ の積の積分であるから、部分積分法を用いて $I_n(a)$ と $I_{n-1}(a)$ の関係式を導く。その際、$(1+x)^{\frac{3}{2}} = (1+x)\sqrt{1+x}$ の変形を利用して次数を調整する。

(3) は (2) で得られた漸化式の両辺を $a^{\frac{3}{2}+n}$ で割り、極限をとる。極限値が定まることを数学的帰納法を用いて丁寧に記述する。

解法1

(1)

与えられた定義にしたがって $I_0(a)$ を計算する。

$$I_0(a) = \int_0^a \sqrt{1+x} \,dx = \int_0^a (1+x)^{\frac{1}{2}} \,dx$$

$$= \left[ \frac{2}{3} (1+x)^{\frac{3}{2}} \right]_0^a = \frac{2}{3} \{ (1+a)^{\frac{3}{2}} - 1 \}$$

求める極限は、

$$\lim_{a \to \infty} a^{-\frac{3}{2}} I_0(a) = \lim_{a \to \infty} \frac{2}{3} \frac{(1+a)^{\frac{3}{2}} - 1}{a^{\frac{3}{2}}}$$

$$= \lim_{a \to \infty} \frac{2}{3} \left\{ \left( 1 + \frac{1}{a} \right)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{a^{\frac{3}{2}}} \right\}$$

$a \to \infty$ のとき $\frac{1}{a} \to 0$ であるから、

$$\lim_{a \to \infty} a^{-\frac{3}{2}} I_0(a) = \frac{2}{3} ( 1 - 0 ) = \frac{2}{3}$$

(2)

$I_n(a)$ に対して部分積分法を用いる。

$$I_n(a) = \int_0^a x^n (1+x)^{\frac{1}{2}} \,dx$$

$$= \int_0^a x^n \left\{ \frac{2}{3} (1+x)^{\frac{3}{2}} \right\}' \,dx$$

$$= \left[ x^n \cdot \frac{2}{3} (1+x)^{\frac{3}{2}} \right]_0^a - \int_0^a n x^{n-1} \cdot \frac{2}{3} (1+x)^{\frac{3}{2}} \,dx$$

$$= \frac{2}{3} a^n (1+a)^{\frac{3}{2}} - \frac{2n}{3} \int_0^a x^{n-1} (1+x) (1+x)^{\frac{1}{2}} \,dx$$

ここで、被積分関数の $(1+x)(1+x)^{\frac{1}{2}}$ を展開して分離する。

$$I_n(a) = \frac{2}{3} a^n (1+a)^{\frac{3}{2}} - \frac{2n}{3} \int_0^a (x^n + x^{n-1}) \sqrt{1+x} \,dx$$

$$= \frac{2}{3} a^n (1+a)^{\frac{3}{2}} - \frac{2n}{3} \int_0^a x^n \sqrt{1+x} \,dx - \frac{2n}{3} \int_0^a x^{n-1} \sqrt{1+x} \,dx$$

積分の定義から、それぞれの項は $I_n(a)$、$I_{n-1}(a)$ と表せる。

$$I_n(a) = \frac{2}{3} a^n (1+a)^{\frac{3}{2}} - \frac{2n}{3} I_n(a) - \frac{2n}{3} I_{n-1}(a)$$

$I_n(a)$ の項を左辺にまとめる。

$$\left( 1 + \frac{2n}{3} \right) I_n(a) = \frac{2}{3} a^n (1+a)^{\frac{3}{2}} - \frac{2n}{3} I_{n-1}(a)$$

$$\frac{3+2n}{3} I_n(a) = \frac{2}{3} a^n (1+a)^{\frac{3}{2}} - \frac{2n}{3} I_{n-1}(a)$$

両辺に $\frac{3}{3+2n}$ を掛ける。

$$I_n(a) = \frac{2}{3+2n} a^n (1+a)^{\frac{3}{2}} - \frac{2n}{3+2n} I_{n-1}(a)$$

これで示された。

(3)

求める極限値を $L_n = \lim_{a \to \infty} a^{-\left(\frac{3}{2}+n\right)} I_n(a)$ とする。

(1) の結果から、

$$L_0 = \lim_{a \to \infty} a^{-\frac{3}{2}} I_0(a) = \frac{2}{3}$$

である。

(2) で求めた漸化式の両辺を $a^{\frac{3}{2}+n}$ で割る。

$$\frac{I_n(a)}{a^{\frac{3}{2}+n}} = \frac{2}{3+2n} \frac{a^n (1+a)^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{3}{2}+n}} - \frac{2n}{3+2n} \frac{I_{n-1}(a)}{a^{\frac{3}{2}+n}}$$

右辺の各項を変形する。

$$\frac{I_n(a)}{a^{\frac{3}{2}+n}} = \frac{2}{3+2n} \left( \frac{1+a}{a} \right)^{\frac{3}{2}} - \frac{2n}{3+2n} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{I_{n-1}(a)}{a^{\frac{3}{2}+n-1}}$$

$$\frac{I_n(a)}{a^{\frac{3}{2}+n}} = \frac{2}{3+2n} \left( 1+\frac{1}{a} \right)^{\frac{3}{2}} - \frac{2n}{3+2n} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{I_{n-1}(a)}{a^{\frac{3}{2}+n-1}} \cdots (*)$$

ここで、すべての $0$ 以上の整数 $k$ について、$L_k = \lim_{a \to \infty} \frac{I_k(a)}{a^{\frac{3}{2}+k}}$ が存在して $L_k = \frac{2}{3+2k}$ となることを数学的帰納法で示す。

[1] $k=0$ のとき

すでに $L_0 = \frac{2}{3}$ と求めており、$k=0$ を代入した値 $\frac{2}{3+0} = \frac{2}{3}$ と一致するため成り立つ。

[2] $k=m-1$ （$m \ge 1$）のとき、極限 $L_{m-1}$ が存在して有限な値になることを仮定する。

式 $(*)$ において $n=m$ とし、$a \to \infty$ の極限を考える。

$\left( 1+\frac{1}{a} \right)^{\frac{3}{2}} \to 1$ であり、仮定より $\frac{I_{m-1}(a)}{a^{\frac{3}{2}+m-1}} \to L_{m-1}$（有限確定値）であるから、$\frac{1}{a} \to 0$ に伴い右辺第2項は $0$ に収束する。

$$\lim_{a \to \infty} \frac{I_m(a)}{a^{\frac{3}{2}+m}} = \frac{2}{3+2m} \cdot 1 - \frac{2m}{3+2m} \cdot 0 \cdot L_{m-1} = \frac{2}{3+2m}$$

よって、$k=m$ のときも成り立つ。

[1], [2] より、すべての自然数 $n$ について、

$$L_n = \frac{2}{3+2n}$$

となることが示された。

解説

定積分で定義された関数に関する極限と漸化式の典型問題である。

(2) では部分積分法を用いて漸化式を立てるが、$(1+x)^{\frac{3}{2}}$ のままにするのではなく、$(1+x)\sqrt{1+x}$ と分解し展開することで、うまく $I_n(a)$ と $I_{n-1}(a)$ の形を作り出すのがポイントである。これはウォリス積分の漸化式を導く際の手法と共通している。

(3) においては、漸化式を解いて一般項を求めるのは難しいため、極限を求める式 $a^{-\left(\frac{3}{2}+n\right)} I_n(a)$ の形を作り出す。漸化式を $a^{\frac{3}{2}+n}$ で割ることで右辺第2項に $\frac{1}{a}$ がくくり出され、$a \to \infty$ でこの項が消えることに気づけばよい。その際、極限値が存在することを帰納法で断っておくと論理的に隙のない解答となる。