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数学3 接線・極限との複合問題 44 解説

方針・初手

(1), (2) 微分法による基本的な関数の増減と極値の計算を行う。
(3) 一般の点 $(p, f(p))$ における接線の方程式を立て、それが原点を通る条件から接点の座標を決定する。
(4) 部分積分を用いて不定積分を計算する。グラフの概形を描き、曲線と接線と $x$軸に囲まれる領域の境界を把握して面積を定積分で求める。

解法1

(1)

与えられた関数は $f(x) = x^{-2} \log x \ (x>0)$ である。積の微分法より、

$$f'(x) = -2x^{-3} \log x + x^{-2} \cdot \frac{1}{x}$$

$$f'(x) = x^{-3}(1 - 2\log x) = \frac{1 - 2\log x}{x^3}$$

(2)

$f'(x) = 0$ とすると、

$$1 - 2\log x = 0$$

$$\log x = \frac{1}{2}$$

$$x = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$$

$x>0$ における $f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$(0)$	$\cdots$	$\sqrt{e}$	$\cdots$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$
$f(x)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$

$x = \sqrt{e}$ のとき、

$$f(\sqrt{e}) = (\sqrt{e})^{-2} \log \sqrt{e} = \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2e}$$

したがって、極大値は $\frac{1}{2e} \ (x = \sqrt{e})$。極小値はない。

(3)

曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(p, f(p))$ における接線の方程式は、

$$y - f(p) = f'(p)(x - p)$$

$$y - p^{-2}\log p = p^{-3}(1 - 2\log p)(x - p)$$

$$y = \frac{1 - 2\log p}{p^3}x - \frac{1 - 2\log p}{p^2} + \frac{\log p}{p^2}$$

$$y = \frac{1 - 2\log p}{p^3}x + \frac{3\log p - 1}{p^2}$$

これが求める接線の方程式である。

さらに、この接線が原点 $(0,0)$ を通るとき、

$$0 = \frac{1 - 2\log p}{p^3} \cdot 0 + \frac{3\log p - 1}{p^2}$$

$$\frac{3\log p - 1}{p^2} = 0$$

$p>0$ より $p^2 \neq 0$ であるから、

$$3\log p - 1 = 0$$

$$\log p = \frac{1}{3}$$

$$p = e^{\frac{1}{3}}$$

このとき、接線の傾きは

$$f'(e^{\frac{1}{3}}) = \frac{1 - 2 \cdot \frac{1}{3}}{(e^{\frac{1}{3}})^3} = \frac{\frac{1}{3}}{e} = \frac{1}{3e}$$

したがって、原点を通る接線 $l$ の方程式は

$$y = \frac{1}{3e}x$$

(4)

$m \neq -1$ に対して、部分積分法を用いて不定積分を求める。

$$\int x^m \log x \,dx = \int \left( \frac{x^{m+1}}{m+1} \right)' \log x \,dx$$

$$= \frac{x^{m+1}}{m+1} \log x - \int \frac{x^{m+1}}{m+1} \cdot \frac{1}{x} \,dx$$

$$= \frac{x^{m+1}}{m+1} \log x - \frac{1}{m+1} \int x^m \,dx$$

$$= \frac{x^{m+1}}{m+1} \log x - \frac{x^{m+1}}{(m+1)^2} + C$$

（$C$ は積分定数）

次に、面積 $S$ を求める。曲線 $y=f(x)$ と $x$軸の交点の $x$ 座標は、$f(x)=0$ より

$$x^{-2}\log x = 0 \implies \log x = 0 \implies x = 1$$

また、接線 $l$ と曲線 $y=f(x)$ の接点の $x$ 座標は $x = e^{\frac{1}{3}}$ であり、$1 < e^{\frac{1}{3}}$ である。

区間 $1 \le x \le e^{\frac{1}{3}}$ において $f(x) \ge 0$ であり、図形の位置関係を考えると、面積 $S$ は接線 $l$ と $x$軸と直線 $x = e^{\frac{1}{3}}$ で作られる直角三角形の面積から、曲線 $y=f(x)$ と $x$軸および直線 $x = e^{\frac{1}{3}}$ で囲まれた部分の面積を引いたものになる。

三角形の面積は、底辺が $e^{\frac{1}{3}}$、高さが $f(e^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3}e^{-\frac{2}{3}}$ であるから、

$$\frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{3}e^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{6}e^{-\frac{1}{3}}$$

引くべき面積は、前半の不定積分の結果に $m = -2$ を代入して計算できる。

$$\int_1^{e^{\frac{1}{3}}} x^{-2} \log x \,dx = \left[ -x^{-1} \log x - x^{-1} \right]_1^{e^{\frac{1}{3}}}$$

$$= \left( -e^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{3} - e^{-\frac{1}{3}} \right) - ( -1 \cdot 0 - 1 )$$

$$= -\frac{4}{3}e^{-\frac{1}{3}} + 1$$

したがって、求める面積 $S$ は、

$$S = \frac{1}{6}e^{-\frac{1}{3}} - \left( -\frac{4}{3}e^{-\frac{1}{3}} + 1 \right)$$

$$S = \left( \frac{1}{6} + \frac{8}{6} \right)e^{-\frac{1}{3}} - 1$$

$$S = \frac{3}{2}e^{-\frac{1}{3}} - 1$$

解説

(1), (2) は微分法の標準的な計算である。商の微分法 $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用いても等価な結果が得られる。
(3) は「曲線上以外の点から引いた接線」の定石通り、まずは接点を $(p, f(p))$ とおいて接線の方程式を立式し、それが指定の点（今回は原点）を通るという条件から未知数 $p$ を決定する。
(4) 前半の $\int x^m \log x \,dx$ の部分は部分積分の典型問題であり、誘導なしでも結果を導けるようにしておきたい。後半の面積計算では、接点と $x$切片の大小関係を正しく把握することが重要である。そのまま定積分として立式してもよいが、三角形の面積をうまく活用する方が計算の負担を減らすことができる。