数学3 接線・極限との複合 問題 45 解説

方針・初手

対数関数 $y = \log x$ のグラフとその接線、線分で囲まれた図形の面積と、その極限を求める標準的な微積分の問題である。

• (1) 微分係数を求めて接線の方程式を立てる。
• (2) 曲線 $y = \log x$ は上に凸であるため、接線は常に曲線の上側に位置する。この上下関係から面積の定積分を立式する。
• (3) (2)の結果を $a^2$ で割り、極限の基本性質および問題文で与えられている極限値を利用して計算する。
• (4) 曲線は上に凸であるため、線分 $\mathrm{AP}$ は曲線の下側に位置する。曲線の定積分から直角三角形の面積を引く（あるいは線分の方程式との差を積分する）ことで求める。
• (5) $\triangle\mathrm{APQ}$ の面積を底辺と高さから求め、(4)の結果とあわせて極限を計算する。極限計算では、分母分子を最も発散スピードの速い $a \log a$ で割るのが定石である。

解法1

(1)

$y = \log x$ について、$y' = \frac{1}{x}$ である。 点 $\mathrm{B}(e, 1)$ における接線の傾きは $\frac{1}{e}$ となる。 したがって、求める接線 $l$ の方程式は、

$$y - 1 = \frac{1}{e} (x - e)$$

すなわち、

$$y = \frac{x}{e}$$

(2)

曲線 $y = \log x$ は上に凸の曲線であるから、接線 $l$ は接点以外で曲線上または曲線の上側にある。 したがって、区間 $1 \leqq x \leqq a$ において $\frac{x}{e} \geqq \log x$ が成り立つ。 求める面積 $S_1(a)$ は、

$$\begin{aligned} S_1(a) &= \int_1^a \left( \frac{x}{e} - \log x \right) dx \\ &= \left[ \frac{x^2}{2e} - (x \log x - x) \right]_1^a \\ &= \left( \frac{a^2}{2e} - a \log a + a \right) - \left( \frac{1}{2e} - 0 + 1 \right) \\ &= \frac{a^2}{2e} - a \log a + a - \frac{1}{2e} - 1 \end{aligned}$$

(3)

(2) の結果より、

$$\begin{aligned} \frac{S_1(a)}{a^2} &= \frac{1}{a^2} \left( \frac{a^2}{2e} - a \log a + a - \frac{1}{2e} - 1 \right) \\ &= \frac{1}{2e} - \frac{\log a}{a} + \frac{1}{a} - \frac{1}{2ea^2} - \frac{1}{a^2} \end{aligned}$$

ここで、$a \to \infty$ のとき、与えられた $\lim_{a \to \infty} \frac{\log a}{a} = 0$ と、$\lim_{a \to \infty} \frac{1}{a} = 0$、$\lim_{a \to \infty} \frac{1}{a^2} = 0$ より、

$$\lim_{a \to \infty} \frac{S_1(a)}{a^2} = \frac{1}{2e} - 0 + 0 - 0 - 0 = \frac{1}{2e}$$

(4)

点 $\mathrm{A}(1,0)$、点 $\mathrm{P}(a, \log a)$、点 $\mathrm{Q}(a, 0)$ を頂点とする $\triangle\mathrm{APQ}$ は、$\angle\mathrm{AQP} = 90^{\circ}$ の直角三角形である。 線分 $\mathrm{AP}$ と $x$ 軸、直線 $x=a$ で囲まれる部分は $\triangle\mathrm{APQ}$ そのものであり、その面積は、

$$\triangle\mathrm{APQ} = \frac{1}{2} \cdot (a - 1) \cdot \log a = \frac{1}{2}(a - 1)\log a$$

曲線 $y = \log x$ は上に凸であるため、区間 $1 \leqq x \leqq a$ において曲線は線分 $\mathrm{AP}$ の上側にある。 したがって、求める面積 $S_2(a)$ は、曲線 $y = \log x$ と $x$ 軸、直線 $x=a$ で囲まれる面積から $\triangle\mathrm{APQ}$ の面積を引いたものに等しい。

$$\begin{aligned} S_2(a) &= \int_1^a \log x dx - \triangle\mathrm{APQ} \\ &= \left[ x \log x - x \right]_1^a - \frac{1}{2}(a - 1)\log a \\ &= (a \log a - a) - (0 - 1) - \frac{1}{2}(a - 1)\log a \\ &= a \log a - a + 1 - \frac{1}{2}(a - 1)\log a \\ &= \frac{1}{2}(a + 1)\log a - a + 1 \end{aligned}$$

(5)

(4) の議論から、$\triangle\mathrm{APQ}$ の面積 $S_3(a)$ は、

$$S_3(a) = \frac{1}{2}(a - 1)\log a$$

次に極限を求める。

$$\begin{aligned} \frac{S_2(a)}{S_3(a)} &= \frac{\frac{1}{2}(a + 1)\log a - a + 1}{\frac{1}{2}(a - 1)\log a} \\ &= \frac{(a + 1)\log a - 2(a - 1)}{(a - 1)\log a} \\ &= \frac{a \log a + \log a - 2a + 2}{a \log a - \log a} \end{aligned}$$

分母分子を $a \log a$ で割ると、

$$\frac{S_2(a)}{S_3(a)} = \frac{1 + \frac{1}{a} - \frac{2}{\log a} + \frac{2}{a \log a}}{1 - \frac{1}{a}}$$

$a \to \infty$ のとき、$\frac{1}{a} \to 0$ であり、$a > e$ より $\log a \to \infty$ となるから $\frac{2}{\log a} \to 0$ である。 したがって、

$$\lim_{a \to \infty} \frac{S_2(a)}{S_3(a)} = \frac{1 + 0 - 0 + 0}{1 - 0} = 1$$

解説

微積分と極限の融合問題として非常に標準的な構成である。 対数関数の積分 $\int \log x dx = x \log x - x + C$ は基本として暗記し、即座に使えるようにしておきたい。

(4)の面積計算では、線分 $\mathrm{AP}$ の直線の方程式をわざわざ立式して積分計算するよりも、「図形的な引き算（定積分 $\int \log x dx$ から直角三角形の面積を引く）」を行った方が計算量も少なく、ミスも防げる。

(5)の極限計算では、分母・分子に様々な項が混在しているが、「一番強い（発散の速い）項で割る」という極限計算の原則に従う。ここでは $a$ よりも $a \log a$ の方が速く発散するため、分母・分子を $a \log a$ で割ることで不定形を解消できる。

答え

(1) $y = \frac{x}{e}$

(2) $S_1(a) = \frac{a^2}{2e} - a \log a + a - \frac{1}{2e} - 1$

(3) $\lim_{a \to \infty} \frac{S_1(a)}{a^2} = \frac{1}{2e}$

(4) $S_2(a) = \frac{1}{2}(a + 1)\log a - a + 1$

(5) $S_3(a) = \frac{1}{2}(a - 1)\log a$ , $\lim_{a \to \infty} \frac{S_2(a)}{S_3(a)} = 1$