数学3 接線・極限との複合問題 46 解説

方針・初手

(1) は、与えられた積分方程式から関数 $f(x)$ の形を特定する。積分区間の上端または下端に着目して両辺を微分するか、もしくは左辺を置換積分して右辺の積分区間と一致させることで、被積分関数の満たすべき関数方程式を導くのが定石である。

(2) は、積分区間 $[1, 2^n]$ を $[2^{k-1}, 2^k]$ のように等比的に分割して考える。与えられた関係式 $g(2x) = \frac{1}{4} g(x)$ と置換積分を用いることで、分割された各区間の定積分を数列の各項として捉えることができる。

解法1

(1)

条件式

$$\int_{ac}^{bc} f(x) dx = c^2 \int_a^b f(x) dx$$

において、$c$ と $a$ を定数とみなし、両辺を $b$ で微分する。微積分学の基本定理より、左辺の微分は合成関数の微分法則を用いて

$$\frac{d}{db} \int_{ac}^{bc} f(x) dx = f(bc) \cdot (bc)' = c f(bc)$$

となる。右辺の微分は

$$\frac{d}{db} \left( c^2 \int_a^b f(x) dx \right) = c^2 f(b)$$

となる。したがって、両辺を $b$ で微分した式は

$$c f(bc) = c^2 f(b)$$

となる。$c \neq 0$ のとき、両辺を $c$ で割ると

$$f(bc) = c f(b)$$

となる。この式は任意の $b$ および $c \neq 0$ について成り立つので、$b = 1, c = x \ (x \neq 0)$ とすると

$$f(x) = x f(1)$$

となる。ここで $f(1) = k$ （$k$ は定数）とおくと、$x \neq 0$ に対して $f(x) = kx$ と表せる。さらに、$f(x)$ は連続関数であるから、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成り立つ。

$$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} kx = 0$$

ゆえに、すべての実数 $x$ に対して $f(x) = kx$ となる。次に、条件 $\int_0^1 f(x) dx = 1$ に $f(x) = kx$ を代入する。

$$\int_0^1 kx dx = \left[ \frac{1}{2} kx^2 \right]_0^1 = \frac{1}{2} k$$

$\frac{1}{2} k = 1$ より $k = 2$ となる。したがって、$f(x) = 2x$ である。これを元に各値を計算すると

$$f(2) = 2 \cdot 2 = 4$$

$$f(-3) = 2 \cdot (-3) = -6$$

となる。

(2)

積分 $I_n = \int_1^{2^n} g(x) dx$ を、区間 $[2^{k-1}, 2^k]$ ごとの定積分の和に分割する。自然数 $k$ に対して、$J_k = \int_{2^{k-1}}^{2^k} g(x) dx$ とおく。 $J_k$ の積分において $x = 2t$ と置換する。 $dx = 2 dt$ であり、$x$ が $2^{k-1}$ から $2^k$ まで変化するとき、$t$ は $2^{k-2}$ から $2^{k-1}$ まで変化する。

$$\begin{aligned} J_k &= \int_{2^{k-1}}^{2^k} g(x) dx \\ &= \int_{2^{k-2}}^{2^{k-1}} g(2t) \cdot 2 dt \end{aligned}$$

条件式 $g(2x) = \frac{1}{4} g(x)$ より $g(2t) = \frac{1}{4} g(t)$ であるから

$$\begin{aligned} J_k &= 2 \int_{2^{k-2}}^{2^{k-1}} \frac{1}{4} g(t) dt \\ &= \frac{1}{2} \int_{2^{k-2}}^{2^{k-1}} g(t) dt \\ &= \frac{1}{2} J_{k-1} \end{aligned}$$

となる。また、条件より $J_1 = \int_1^2 g(x) dx = 1$ である。したがって、数列 $\{J_k\}$ は初項 $1$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列であり、一般項は

$$J_k = \left( \frac{1}{2} \right)^{k-1}$$

となる。ここで、$I_n$ は $J_k$ の $k=1$ から $n$ までの和に等しいから

$$\begin{aligned} I_n &= \sum_{k=1}^n J_k \\ &= \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{2} \right)^{k-1} \\ &= \frac{1 \cdot \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^n \right\}}{1 - \frac{1}{2}} \\ &= 2 \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^n \right\} \end{aligned}$$

これより、$I_4$ を求めると

$$\begin{aligned} I_4 &= 2 \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^4 \right\} \\ &= 2 \left( 1 - \frac{1}{16} \right) \\ &= 2 \cdot \frac{15}{16} \\ &= \frac{15}{8} \end{aligned}$$

となる。また、極限 $\lim_{n \to \infty} I_n$ は

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} I_n &= \lim_{n \to \infty} 2 \left\{ 1 - \left( \frac{1}{2} \right)^n \right\} \\ &= 2 (1 - 0) \\ &= 2 \end{aligned}$$

となる。

解法2

(1)の別解

与えられた等式の左辺 $\int_{ac}^{bc} f(x) dx$ について、$x = ct$ と置換積分する。 $dx = c dt$ であり、$x$ が $ac$ から $bc$ まで変化するとき、$t$ は $a$ から $b$ まで変化する。

$$\int_{ac}^{bc} f(x) dx = \int_a^b f(ct) c dt = c \int_a^b f(cx) dx$$

与えられた等式は $\int_{ac}^{bc} f(x) dx = c^2 \int_a^b f(x) dx$ であるから

$$c \int_a^b f(cx) dx = c^2 \int_a^b f(x) dx$$

$$\int_a^b \left\{ c f(cx) - c^2 f(x) \right\} dx = 0$$

この等式が任意の実数 $a, b$ について成り立つためには、連続関数である被積分関数が常に $0$ でなければならない。よって、任意の実数 $x, c$ に対して

$$c f(cx) - c^2 f(x) = 0$$

$c \neq 0$ のとき、両辺を $c$ で割ると

$$f(cx) = c f(x)$$

が得られる。ここで $x = 1, c = x \ (x \neq 0)$ とすると、$f(x) = x f(1)$ となる。 $f(1) = k$ （$k$ は定数）とおくと、$x \neq 0$ のとき $f(x) = kx$ である。 $f(x)$ は連続関数であるから、$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} kx = 0$ となり、すべての実数 $x$ で $f(x) = kx$ が成り立つ。

これ以降は解法1と同様であり、$\int_0^1 f(x) dx = 1$ より $k = 2$ となり $f(x) = 2x$ を得る。よって $f(2) = 4, f(-3) = -6$ となる。