数学3 接線・極限との複合問題 47 解説

方針・初手

指数関数を含む関数の極限、微分によるグラフの描画、および定積分の計算を行う総合問題です。 (1) は、$x \to \infty$ において不定形となるため、分母分子を $e^x$ で割って極限を求めます。 (2) は、第1次導関数、第2次導関数を計算し、増減と凹凸を調べます。商の微分法を用いますが、共通因数でくくるなどして式を整理しながら計算することが計算ミスを防ぐコツです。 (3) は、グラフの上下関係を把握して積分する関数を立式します。積分計算では、置換積分の基本形である $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log |f(x)| + C$ の形を作ります。 (4) は、(3)で得られた結果の極限を計算しますが、そのままでは $\infty - \infty$ の不定形になる場合、対数の性質を用いて項をまとめ、極限値を求められる形に変形します。

解法1

(1)

$x \to \infty$ のとき、$e^x \to \infty$ より不定形となるため、分母分子を $e^x$ で割ります。

$$\lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} \frac{e^x}{1+e^x} = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{e^{-x} + 1}$$

$x \to \infty$ のとき $e^{-x} \to 0$ となるため、

$$\lim_{x\to\infty} f(x) = \frac{1}{0 + 1} = 1$$

一方、$x \to -\infty$ のときは、$e^x \to 0$ となるためそのまま極限を計算します。

$$\lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} \frac{e^x}{1+e^x} = \frac{0}{1 + 0} = 0$$

(2)

関数 $f(x)$ を $x$ で微分します。

$$f'(x) = \frac{(e^x)'(1+e^x) - e^x(1+e^x)'}{(1+e^x)^2} = \frac{e^x(1+e^x) - e^x \cdot e^x}{(1+e^x)^2} = \frac{e^x}{(1+e^x)^2}$$

すべての実数 $x$ において $e^x > 0$ であるから、$f'(x) > 0$ となり、$f(x)$ は単調に増加します。さらに $f''(x)$ を求めます。

$$f''(x) = \frac{(e^x)'(1+e^x)^2 - e^x \cdot \{(1+e^x)^2\}'}{(1+e^x)^4} = \frac{e^x(1+e^x)^2 - e^x \cdot 2(1+e^x)e^x}{(1+e^x)^4}$$

分子の共通因数 $(1+e^x)$ で約分して整理します。

$$f''(x) = \frac{e^x(1+e^x) - 2e^{2x}}{(1+e^x)^3} = \frac{e^x - e^{2x}}{(1+e^x)^3} = \frac{e^x(1-e^x)}{(1+e^x)^3}$$

$f''(x) = 0$ とすると、$e^x > 0$ より $1 - e^x = 0$ となり、$e^x = 1$ すなわち $x = 0$ です。これより、増減や凹凸は次の表のようになります。

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$+$	$+$
$f''(x)$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	下に凸で増加	$\frac{1}{2}$	上に凸で増加

$f(0) = \frac{e^0}{1+e^0} = \frac{1}{2}$ であるため、変曲点は点 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ です。また、(1) より、直線 $y=1$ と $y=0$ （$x$軸）が漸近線となります。よってグラフの概形は、点 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ を変曲点とし、単調増加で $x \to -\infty$ では $y=0$ に近づき、$x \to \infty$ では $y=1$ に近づく滑らかな曲線となります。

(3)

(1) の結果より、$\alpha = \lim_{x\to\infty} f(x) = 1$ です。 $x \ge 0$ において、$f(x) = \frac{e^x}{1+e^x} < \frac{e^x+1}{1+e^x} = 1$ であるため、曲線 $y=f(x)$ は直線 $y=1$ の下側にあります。したがって、求める面積 $S(t)$ は以下の定積分で計算できます。

$$S(t) = \int_0^t (1 - f(x)) \, dx = \int_0^t \left( 1 - \frac{e^x}{1+e^x} \right) \, dx$$

ここで、$(1+e^x)' = e^x$ であることを利用して積分します。

$$S(t) = \left[ x - \log(1+e^x) \right]_0^t = (t - \log(1+e^t)) - (0 - \log 2) = t - \log(1+e^t) + \log 2$$

(4)

(3) の結果を用いて、$\lim_{t\to\infty} S(t)$ を求めます。そのままでは $\infty - \infty$ となるため、対数の性質を用いて変形します。

$$S(t) = \log e^t - \log(1+e^t) + \log 2 = \log \frac{e^t}{1+e^t} + \log 2 = \log \frac{1}{e^{-t}+1} + \log 2$$

$t \to \infty$ のとき、$e^{-t} \to 0$ となるため、極限値は次のようになります。

$$\lim_{t\to\infty} S(t) = \log \frac{1}{0+1} + \log 2 = \log 1 + \log 2 = \log 2$$

解法2

(3) および (4) の別解

(3)

面積を求めるための被積分関数をあらかじめ変形しておきます。分母分子を $e^x$ で割ります。

$$1 - f(x) = 1 - \frac{e^x}{1+e^x} = \frac{1}{1+e^x} = \frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}$$

これを積分します。$(e^{-x}+1)' = -e^{-x}$ であることを利用します。

$$S(t) = \int_0^t \frac{e^{-x}}{e^{-x}+1} \, dx = \left[ -\log(e^{-x}+1) \right]_0^t = -\log(e^{-t}+1) - (-\log 2) = -\log(e^{-t}+1) + \log 2$$

(4)

(3) で得られた式を用いると、極限計算において不定形が現れません。 $t \to \infty$ のとき、$e^{-t} \to 0$ であるため、直ちに極限値が求まります。

$$\lim_{t\to\infty} S(t) = \lim_{t\to\infty} \left( -\log(e^{-t}+1) + \log 2 \right) = -\log 1 + \log 2 = \log 2$$

解説

この問題で扱われている $f(x) = \frac{e^x}{1+e^x}$ は「ロジスティック曲線」と呼ばれる有名な関数であり、その性質を問う微分積分の標準的な問題です。 (2) では商の微分法を用いますが、$f''(x)$ を計算する際に $(1+e^x)$ で約分できることに気付くと計算が格段に楽になります。 (3) および (4) の面積と極限の計算では、解法1のように $t - \log(1+e^t)$ としてから対数の中に $t$ を入れ込む方法と、解法2のように被積分関数を $\frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}$ と変形してから積分する方法があります。解法2の方が、(4) で不定形を避けるための変形が不要になるため、計算の見通しが非常に良くなります。