数学3 接線・極限との複合問題 48 解説

方針・初手

2つの曲線 $C_1, C_2$ が共有点 $\text{P}$ を持ち、$\text{P}$ における接線が一致するという条件は、「$\text{P}$ の $x$ 座標 $x_0$ において、関数値が等しく、かつ微分係数（接線の傾き）が等しい」と言い換えることができる。この2つの条件式を立式することが出発点となる。その後は得られた関係式を用いて、$x_0, a$ を $t$ で表し、接線の情報から法線の方程式を求め、面積計算と極値の計算へと順に処理を進める。

解法1

(1)

$f(x) = \log x + \log t$, $g(x) = ax^2$ とおく。これらを微分すると、$f'(x) = \frac{1}{x}$, $g'(x) = 2ax$ である。曲線 $C_1, C_2$ が $x = x_0$ で共有点を持ち、かつその点での接線が一致するための条件は、

$$\begin{cases} f(x_0) = g(x_0) \\ f'(x_0) = g'(x_0) \end{cases}$$

が成り立つことである。したがって、求める関係式は

$$\log x_0 + \log t = a x_0^2$$

$$\frac{1}{x_0} = 2a x_0$$

の2式である。

(2)

(1)で求めた第2式より、

$$x_0^2 = \frac{1}{2a}$$

これと第1式から $a$ を消去すると、

$$\log x_0 + \log t = a \cdot \frac{1}{2a} = \frac{1}{2}$$

$$\log (t x_0) = \frac{1}{2}$$

$$t x_0 = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$$

$t$ は正の実数であるから、

$$x_0 = \frac{\sqrt{e}}{t}$$

また、これを $2a = \frac{1}{x_0^2}$ に代入して、

$$2a = \frac{t^2}{e} \iff a = \frac{t^2}{2e}$$

(3)

点 $\text{P}$ の座標は $\left( x_0, a x_0^2 \right) = \left( x_0, \frac{1}{2} \right)$ である。点 $\text{P}$ における $C_2$ の接線の傾きは $2a x_0 = \frac{1}{x_0}$ であるから、法線 $l$ の傾きは $-x_0$ となる。よって、法線 $l$ の方程式は

$$y - \frac{1}{2} = -x_0(x - x_0)$$

$$y = -x_0 x + x_0^2 + \frac{1}{2}$$

直線 $l$ と $x$ 軸との交点 $\text{Q}$ の $x$ 座標は、$y=0$ とおいて

$$x_0 x = x_0^2 + \frac{1}{2} \iff x = x_0 + \frac{1}{2x_0}$$

よって、$\text{Q} \left( x_0 + \frac{1}{2x_0}, 0 \right)$ である。直線 $l$ と $y$ 軸との交点 $\text{R}$ の $y$ 座標は、$x=0$ とおいて

$$y = x_0^2 + \frac{1}{2}$$

よって、$\text{R} \left( 0, x_0^2 + \frac{1}{2} \right)$ である。ここで、$x_0 > 0$ より $\text{Q}$ の $x$ 座標も $\text{R}$ の $y$ 座標も正であるから、$\triangle\text{OQR}$ の面積 $S(t)$ は

$$S(t) = \frac{1}{2} \cdot \left( x_0 + \frac{1}{2x_0} \right) \cdot \left( x_0^2 + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x_0^2+1}{2x_0} \cdot \frac{2x_0^2+1}{2} = \frac{(2x_0^2+1)^2}{8x_0}$$

これに $x_0 = \frac{\sqrt{e}}{t}$ を代入すると、

$$S(t) = \frac{\left( 2 \cdot \frac{e}{t^2} + 1 \right)^2}{8 \cdot \frac{\sqrt{e}}{t}} = \frac{t \left( \frac{2e+t^2}{t^2} \right)^2}{8\sqrt{e}} = \frac{(t^2+2e)^2}{8\sqrt{e} t^3}$$

次に、$S(t)$ の最小値を調べるために $t$ で微分する。

$$S'(t) = \frac{1}{8\sqrt{e}} \cdot \frac{2(t^2+2e) \cdot 2t \cdot t^3 - (t^2+2e)^2 \cdot 3t^2}{t^6}$$

$$S'(t) = \frac{1}{8\sqrt{e}} \cdot \frac{t^2(t^2+2e) \{ 4t^2 - 3(t^2+2e) \}}{t^6} = \frac{(t^2+2e)(t^2-6e)}{8\sqrt{e} t^4}$$

$t > 0$ において、$t^2+2e > 0$ であるから、$S'(t) = 0$ となるのは $t^2 - 6e = 0$、すなわち $t = \sqrt{6e}$ のときのみである。 $t > 0$ における $S(t)$ の増減表は以下のようになる。

$t$	$(0)$	$\cdots$	$\sqrt{6e}$	$\cdots$
$S'(t)$		$-$	$0$	$+$
$S(t)$		$\searrow$	極小かつ最小	$\nearrow$

よって、$S(t)$ を最小とする $t$ の値は $t = \sqrt{6e}$ である。

(4)

$t = \sqrt{6e}$ のとき、

$$x_0 = \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{6e}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$$

$$a = \frac{6e}{2e} = 3$$

である。したがって、2つの曲線は

$$C_1 : y = \log x + \log\sqrt{6e} = \log(\sqrt{6e}x)$$

$$C_2 : y = 3x^2$$

となる。$C_1$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標は、$y=0$ より $\sqrt{6e}x = 1 \iff x = \frac{1}{\sqrt{6e}}$ である。また、$C_1$ と $C_2$ は $x = \frac{1}{\sqrt{6}}$ で接しており、区間 $0 < x \leqq \frac{1}{\sqrt{6}}$ において $C_2$ は $C_1$ より上側にある。求める面積は、曲線 $C_2$ と $x$ 軸、および直線 $x = \frac{1}{\sqrt{6}}$ で囲まれた図形の面積から、曲線 $C_1$ と $x$ 軸、および直線 $x = \frac{1}{\sqrt{6}}$ で囲まれた図形の面積を引いたものに等しい。したがって、求める面積を $A$ とすると、

$$A = \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{6}}} 3x^2 \, dx - \int_{\frac{1}{\sqrt{6e}}}^{\frac{1}{\sqrt{6}}} \log(\sqrt{6e}x) \, dx$$

それぞれの定積分を計算する。

$$\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{6}}} 3x^2 \, dx = \left[ x^3 \right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{6}}} = \left( \frac{1}{\sqrt{6}} \right)^3 = \frac{1}{6\sqrt{6}}$$

$$\int_{\frac{1}{\sqrt{6e}}}^{\frac{1}{\sqrt{6}}} \log(\sqrt{6e}x) \, dx = \left[ x\log(\sqrt{6e}x) - x \right]_{\frac{1}{\sqrt{6e}}}^{\frac{1}{\sqrt{6}}}$$

$$= \left( \frac{1}{\sqrt{6}}\log\sqrt{e} - \frac{1}{\sqrt{6}} \right) - \left( \frac{1}{\sqrt{6e}}\log 1 - \frac{1}{\sqrt{6e}} \right)$$

$$= \frac{1}{2\sqrt{6}} - \frac{1}{\sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6e}} = -\frac{1}{2\sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6e}}$$

以上より、

$$A = \frac{1}{6\sqrt{6}} - \left( -\frac{1}{2\sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6e}} \right) = \frac{4}{6\sqrt{6}} - \frac{1}{\sqrt{6e}} = \frac{2}{3\sqrt{6}} - \frac{1}{\sqrt{6e}}$$

解説

2曲線が接する条件に関する典型的な微積分・面積の問題である。 (3)では、先に $x_0$ を用いて $\triangle\text{OQR}$ の面積を表し、最後に $t$ の式に直すことで計算が大幅に簡略化される。最初から $x_0$ に $t$ の式を代入してしまうと、式が煩雑になり計算ミスの原因になりやすい。 (4)の面積計算では、被積分関数である $\log(\sqrt{6e}x)$ の積分において、$\log kx$ の積分が $x \log kx - x$ となることを利用すると手際よく計算できる。グラフの上下関係と $x$ 切片の位置を正しく把握し、過不足なく面積を立式することが重要である。