数学3 その他応用 問題 3 解説

方針・初手

まず媒介変数表示された運動なので、加速度ベクトルは $x,y$ をそれぞれ $t$ で 2 回微分して求める。

また、動く道のりは軌跡の長さではなく、時間 $t=0$ から $t=\pi$ までの実際の移動距離であるから、速度の大きさ

$$ \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} $$

を $0$ から $\pi$ まで積分すればよい。

解法1

与えられた式は

$$ x=-2\cos^3 t,\qquad y=3\sin^2 t\qquad (0\leqq t\leqq \pi) $$

である。

まず速度を求めると、

$$ \frac{dx}{dt}=6\cos^2 t\sin t, \qquad \frac{dy}{dt}=6\sin t\cos t $$

である。

したがって加速度ベクトル $\vec a$ の成分は

$$ \frac{d^2x}{dt^2} =\frac{d}{dt}(6\cos^2 t\sin t) =6(-2\cos t\sin^2 t+\cos^3 t) =18\cos^3 t-12\cos t $$

および

$$ a_y(t)=\frac{d^2y}{dt^2} =\frac{d}{dt}(6\sin t\cos t) =6(\cos^2 t-\sin^2 t) =6\cos 2t $$

である。

よって

$$ \vec a= \left( 18\cos^3 t-12\cos t, 6\cos 2t \right) $$

となる。

したがって （1） のグラフは

$$ z=a_y(t)=6\cos 2t\qquad (0\leqq t\leqq \pi) $$

であり、主な点は

$$ (0,6),\quad \left(\frac{\pi}{4},0\right),\quad \left(\frac{\pi}{2},-6\right),\quad \left(\frac{3\pi}{4},0\right),\quad (\pi,6) $$

である。すなわち、区間 $0\leqq t\leqq \pi$ における余弦曲線である。

次に、点 $P$ の動く道のりを求める。

速度の大きさは

$$ \begin{aligned} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} &= \sqrt{36\cos^4 t\sin^2 t+36\sin^2 t\cos^2 t} \end{aligned} $$

$$ =6\sin t\,|\cos t|\sqrt{1+\cos^2 t} $$

である。ここで $0\leqq t\leqq \pi$ では $\sin t\geqq 0$ なので、$|\cos t|$ のために $t=\dfrac{\pi}{2}$ で場合分けする。

また、対称性より

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi 6\sin t\,|\cos t|\sqrt{1+\cos^2 t}\,dt &= 2\int_0^{\pi/2} 6\sin t\cos t\sqrt{1+\cos^2 t}\,dt \end{aligned} $$

となる。したがって道のり $L$ は

$$ L=12\int_0^{\pi/2}\sin t\cos t\sqrt{1+\cos^2 t},dt $$

である。

ここで $u=\cos t$ とおくと、$du=-\sin t,dt$ であり、

$$ L =12\int_1^0 (-u\sqrt{1+u^2}),du =12\int_0^1 u\sqrt{1+u^2},du $$

となる。さらに $w=1+u^2$ とおけば $dw=2u,du$ であるから、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 u\sqrt{1+u^2},du &= \frac{1}{2}\int_1^2 \sqrt{w},dw \\ \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\left[w^{3/2}\right]_1^2 \\ \frac{1}{3}(2\sqrt{2}-1) \end{aligned} $$

である。

よって

$$ L=12\cdot \frac{1}{3}(2\sqrt{2}-1)=4(2\sqrt{2}-1) $$

となる。

解説

この問題では、媒介変数表示された曲線上の運動を扱っているので、加速度は各成分を $t$ で 2 回微分すればよい。

また、道のり は軌跡の方程式を求めてから処理するよりも、速度の大きさをそのまま積分するのが自然である。今回は

$$ \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} $$

の中に $|\cos t|$ が現れるので、$0\leqq t\leqq \pi$ で符号が変わる点 $t=\dfrac{\pi}{2}$ を意識することが重要である。

答え

(1)

$$ \vec a= \left( 18\cos^3 t-12\cos t, 6\cos 2t \right) $$

したがって

$$ a_y(t)=6\cos 2t $$

であり、グラフは $0\leqq t\leqq \pi$ における $z=6\cos 2t$ のグラフである。

(2)

点 $P$ の動く道のりは

$$ 4(2\sqrt{2}-1) $$

である。