数学3 その他応用 問題 4 解説

方針・初手

与えられた微分方程式は $y'$ について解くと変数分離形になる。まず一般解を求め、その後、区間 $0\leqq x\leqq \pi$ では $\sin x\geqq 0$ であることを用いて、曲線と $x$ 軸で囲まれる面積を積分で表す。

解法1

（1） 微分方程式

$$ \left(y+\frac{dy}{dx}\right)\sin x=y\cos x $$

を整理すると

$$ \frac{dy}{dx}\sin x=y(\cos x-\sin x) $$

となる。

$0<x<\pi$ では $\sin x\neq 0$ であるから、

$$ \frac{dy}{dx}=y(\cot x-1) $$

すなわち

$$ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\cot x-1 $$

である。

よって変数分離して積分すると

$$ \int \frac{1}{y},dy=\int (\cot x-1),dx $$

より

$$ \log |y|=\log |\sin x|-x+C $$

となる。

したがって

$$ y=C e^{-x}\sin x $$

を得る。これが一般解である。

（2） （1） の一般解を

$$ y=f(x)=C e^{-x}\sin x $$

とする。

区間 $0\leqq x\leqq \pi$ では $\sin x\geqq 0$ であり、しかも

$$ f(0)=f(\pi)=0 $$

であるから、曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれる面積 $S$ は

$$ S=\int_0^\pi |f(x)|,dx =|C|\int_0^\pi e^{-x}\sin x,dx $$

である。

ここで

$$ \int e^{-x}\sin x,dx =-\frac12 e^{-x}(\sin x+\cos x)+C $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi e^{-x}\sin x,dx &= \left[-\frac12 e^{-x}(\sin x+\cos x)\right]_0^\pi =\frac12(e^{-\pi}+1) \end{aligned} $$

となる。

したがって

$$ S=|C|\cdot \frac12(e^{-\pi}+1) $$

である。

これが $e^{-\pi}+1$ に等しいので

$$ |C|\cdot \frac12(e^{-\pi}+1)=e^{-\pi}+1 $$

より

$$ |C|=2 $$

である。

ゆえに求める解は

$$ f(x)=2e^{-x}\sin x,\qquad f(x)=-2e^{-x}\sin x $$

の 2 つである。

解説

この問題の要点は、微分方程式をまず

$$ \frac{y'}{y}=\cot x-1 $$

の形に直して変数分離することである。

また、面積では符号に注意が必要であるが、$0\leqq x\leqq \pi$ では $\sin x\geqq 0$ なので、解 $C e^{-x}\sin x$ の符号は定数 $C$ の符号だけで決まる。そのため面積は $|C|$ を用いて表せばよい。

答え

(1)

一般解は

$$ y=C e^{-x}\sin x \qquad (Cは任意定数) $$

である。

(2)

条件を満たす解は

$$ y=2e^{-x}\sin x,\qquad y=-2e^{-x}\sin x $$

である。