数学3 その他応用 問題 10 解説

方針・初手

円 $B$ の中心を $Q$ とし、$Q$ が円 $A$ のまわりを回る角を $t$ とおく。円 $B$ は半径 $1$、円 $A$ は半径 $2$ なので、$Q$ は半径 $3$ の円周上を動く。

すべらずに転がる条件から、点 $P$ の位置を $t$ で表すと、この軌跡はエピサイクロイドとして扱える。

解法1

円 $B$ の中心を $Q$ とする。$Q$ は原点を中心とする半径 $3$ の円周上を反時計回りに動くから、

$$ Q=(3\cos t,3\sin t) $$

とおける。ただし $0\leqq t\leqq 2\pi$ である。

円 $B$ はすべらずに転がるので、円 $B$ の回転角は、中心 $Q$ の移動に対して $3t$ となる。初めに点 $P$ は $Q$ から見て左向き、すなわち

$$ \overrightarrow{QP}=(-1,0) $$

の位置にある。したがって、時刻 $t$ において

$$ \overrightarrow{QP}=(-\cos 3t,-\sin 3t) $$

である。

よって点 $P$ の座標は

$$ \begin{aligned} x&=3\cos t-\cos 3t,\\ y&=3\sin t-\sin 3t \end{aligned} $$

となる。

（1） $x$ 座標の最大値

$c=\cos t$ とおくと、

$$ \cos 3t=4\cos^3t-3\cos t=4c^3-3c $$

より、

$$ x=3c-(4c^3-3c)=6c-4c^3 $$

である。ただし $-1\leqq c\leqq 1$ である。

この関数

$$ f(c)=6c-4c^3 $$

の最大値を調べる。

$$ f'(c)=6-12c^2=6(1-2c^2) $$

より、

$$ f'(c)=0 $$

となるのは

$$ c=\pm \frac{1}{\sqrt2} $$

である。

端点も含めて調べると、

$$ \begin{aligned} f(1)&=2,\\ f(-1)&=-2,\\ f\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)&=2\sqrt2,\\ f\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right)&=-2\sqrt2 \end{aligned} $$

であるから、$x$ 座標の最大値は

$$ 2\sqrt2 $$

である。

このとき

$$ \cos t=\frac{1}{\sqrt2} $$

だから、

$$ \sin t=\pm \frac{1}{\sqrt2} $$

である。

また、

$$ y=3\sin t-\sin 3t $$

であり、

$$ \sin 3t=3\sin t-4\sin^3t $$

を用いると、

$$ y=3\sin t-(3\sin t-4\sin^3t)=4\sin^3t $$

となる。

したがって、

$$ y=4\left(\pm \frac{1}{\sqrt2}\right)^3=\pm \sqrt2 $$

である。

よって、$x$ 座標が最大となる点は

$$ (2\sqrt2,\sqrt2),\quad (2\sqrt2,-\sqrt2) $$

である。

（2） 曲線 $C$ の長さ

点 $P$ の媒介変数表示は

$$ \begin{aligned} x&=3\cos t-\cos 3t,\\ y&=3\sin t-\sin 3t \end{aligned} $$

である。

これを微分すると、

$$ \begin{aligned} \frac{dx}{dt}&=-3\sin t+3\sin 3t,\\ \frac{dy}{dt}&=3\cos t-3\cos 3t \end{aligned} $$

である。

したがって速さは

$$ \begin{aligned} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} &=3\sqrt{(\sin 3t-\sin t)^2+(\cos t-\cos 3t)^2} \end{aligned} $$

である。

ここで、

$$ (\sin 3t-\sin t)^2+(\cos 3t-\cos t)^2 =2-2\cos 2t $$

であり、

$$ 2-2\cos 2t=4\sin^2t $$

だから、

$$ \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} =3\cdot 2|\sin t|=6|\sin t| $$

となる。

よって曲線 $C$ の長さ $L$ は

$$ L=\int_0^{2\pi}6|\sin t|,dt $$

である。

$$ \int_0^{2\pi}|\sin t|,dt=4 $$

より、

$$ L=6\cdot 4=24 $$

である。

解説

この問題では、円が円の外側をすべらずに転がるので、軌跡はエピサイクロイドになる。半径 $2$ の円の外側を半径 $1$ の円が転がるため、中心の軌跡は半径 $3$ の円であり、点 $P$ の回転角は $3t$ になる。

$x$ 座標の最大値は、媒介変数表示を作ったあと、$\cos 3t=4\cos^3t-3\cos t$ を使って $x$ を $\cos t$ だけの関数にするのが簡潔である。

曲線の長さでは、媒介変数表示を微分して弧長公式を使う。途中で絶対値 $|\sin t|$ が出るため、符号を無視して積分しないことが重要である。

答え

(1)

$$ (2\sqrt2,\sqrt2),\quad (2\sqrt2,-\sqrt2) $$

(2)

$$ 24 $$