数学3 その他応用 問題 11 解説

方針・初手

点 $P,Q$ の座標を時刻 $t$ で表し、中点 $M$ の座標を求める。速度は $M$ の座標を $t$ で微分すればよい。

道のりは、速度の大きさを $t=0$ から $t=\dfrac{3}{2}\pi$ まで積分して求める。

解法1

点 $P$ は原点を出発して $y$ 軸上を正の向きに速度 $1$ で進むので、時刻 $t$ における座標は

$$ P=(0,t) $$

である。

点 $Q$ は中心 $(0,2)$、半径 $1$ の円

$$ x^2+(y-2)^2=1 $$

上を正の向き、すなわち反時計回りに角速度 $1$ で動く。初期位置は $(0,1)$ であり、これは円の最下点である。

したがって、時刻 $t$ における $Q$ の座標は

$$ Q=(\sin t,2-\cos t) $$

である。

よって、線分 $PQ$ の中点 $M$ の座標は

$$ M=\left(\frac{\sin t}{2},\frac{t+2-\cos t}{2}\right) $$

となる。

これを $t$ で微分すると、$M$ の速度ベクトルは

$$ \begin{aligned} \frac{dM}{dt} &= \left(\frac{\cos t}{2},\frac{1+\sin t}{2}\right) \end{aligned} $$

である。

したがって、時刻 $t$ における $M$ の速度の大きさは

$$ \begin{aligned} \left|\frac{dM}{dt}\right| &= \sqrt{\left(\frac{\cos t}{2}\right)^2+\left(\frac{1+\sin t}{2}\right)^2} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{\cos^2 t+(1+\sin t)^2} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{\cos^2 t+1+2\sin t+\sin^2 t} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{2+2\sin t} \\ &= \sqrt{\frac{1+\sin t}{2}}. \end{aligned} $$

よって、（1） の答えは

$$ \sqrt{\frac{1+\sin t}{2}} $$

である。

次に、$t=0$ から $t=\dfrac{3}{2}\pi$ までの道のりを求める。

道のりを $L$ とすると、

$$ L=\int_0^{\frac{3}{2}\pi}\sqrt{\frac{1+\sin t}{2}},dt $$

である。

ここで、

$$ \begin{aligned} 1+\sin t &= \left(\sin\frac{t}{2}+\cos\frac{t}{2}\right)^2 \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \sqrt{\frac{1+\sin t}{2}} &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left|\sin\frac{t}{2}+\cos\frac{t}{2}\right| \end{aligned} $$

となる。

$0\leqq t\leqq \dfrac{3}{2}\pi$ では

$$ \sin\frac{t}{2}+\cos\frac{t}{2}\geqq 0 $$

である。実際、端点 $t=\dfrac{3}{2}\pi$ で $0$ となり、それ以前では正である。

したがって絶対値を外して、

$$ \begin{aligned} L &= \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^{\frac{3}{2}\pi} \left(\sin\frac{t}{2}+\cos\frac{t}{2}\right),dt \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ -2\cos\frac{t}{2}+2\sin\frac{t}{2} \right]_0^{\frac{3}{2}\pi}. \end{aligned} $$

$t=\dfrac{3}{2}\pi$ のとき $\dfrac{t}{2}=\dfrac{3}{4}\pi$ であるから、

$$ \begin{aligned} -2\cos\frac{3\pi}{4}+2\sin\frac{3\pi}{4} &= -2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) +2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) &= 2\sqrt{2} \end{aligned} $$

である。

また、$t=0$ のとき

$$ -2\cos0+2\sin0=-2 $$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} L &= \frac{1}{\sqrt{2}} {2\sqrt{2}-(-2)} \\ &= \frac{2\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}} \\ &= 2+\sqrt{2}. \end{aligned} $$

したがって、（2） の答えは

$$ 2+\sqrt{2} $$

である。

解説

この問題では、$P$ と $Q$ の動きをそれぞれ座標で表し、中点の座標を直接求めることが基本方針である。

点 $Q$ は円の最下点 $(0,1)$ から反時計回りに動くため、

$$ Q=(\sin t,2-\cos t) $$

と置くのが自然である。ここで符号を誤ると、以後の速度や積分がすべてずれる。

また、道のりは変位の大きさではなく、速度の大きさの積分である。そのため、

$$ \int_0^{\frac{3}{2}\pi}\left|\frac{dM}{dt}\right|,dt $$

を計算する必要がある。

積分では

$$ \begin{aligned} 1+\sin t &= \left(\sin\frac{t}{2}+\cos\frac{t}{2}\right)^2 \end{aligned} $$

を使い、絶対値の符号を区間内で確認することが重要である。

答え

(1)

$$ \sqrt{\frac{1+\sin t}{2}} $$

(2)

$$ 2+\sqrt{2} $$