数学3 その他応用 問題 12 解説

方針・初手

微分方程式が、点 $(x,y)$ の位置によって

$$ x+2y>0 \text{ では } y'=-x,\qquad x+2y<0 \text{ では } y'=2y $$

と切り替わる問題である。

まず、与えられた点 $(0,3)$ は

$$ 0+2\cdot 3=6>0 $$

より $x+2y>0$ の領域にある。したがって、最初は $y'=-x$ を用いて曲線を求め、どこで境界線

$$ x+2y=0 $$

に達するかを調べるのが初手である。

解法1

$(0,3)$ を通るので、$x=0$ の近くでは $x+2y>0$ の領域にあり、

$$ y'=-x $$

を満たす。これを積分すると

$$ y=-\frac12 x^2+C $$

となる。$(0,3)$ を通るから

$$ 3=C $$

であり、

$$ y=3-\frac12 x^2 $$

を得る。

この曲線がどこまで $x+2y>0$ の領域にあるかを調べるため、

$$ x+2y=x+2\left(3-\frac12 x^2\right)=-x^2+x+6 $$

を考える。これが $0$ となるのは

$$ -x^2+x+6=0 $$

すなわち

$$ x^2-x-6=0 $$

より

$$ x=-2,\ 3 $$

である。

したがって、

$$ -2<x<3 $$

では

$$ x+2y>0 $$

であり、この区間では

$$ y=3-\frac12 x^2 $$

である。

次に、$x=-2,3$ の外側を考える。

(i)

$x<-2$ の部分

$x=-2$ での値は

$$ y=3-\frac12\cdot (-2)^2=1 $$

である。さらに、この点では境界線上にあるので、その左側では $x+2y<0$ に入る。よって $x<-2$ では

$$ y'=2y $$

を満たす。

これを解くと

$$ y=Ae^{2x} $$

であり、$(-2,1)$ を通るから

$$ 1=Ae^{-4} $$

より

$$ A=e^4 $$

である。したがって

$$ y=e^{2x+4}\qquad (x\le -2) $$

となる。

(ii)

$x>3$ の部分

$x=3$ での値は

$$ y=3-\frac12\cdot 3^2=-\frac32 $$

である。同様に、この点の右側では $x+2y<0$ に入るので、$x>3$ でも

$$ y'=2y $$

を満たす。

したがって

$$ y=Be^{2x} $$

とおける。$(3,-\frac32)$ を通るから

$$ -\frac32=Be^6 $$

より

$$ B=-\frac32 e^{-6} $$

である。よって

$$ y=-\frac32 e^{2x-6}\qquad (x\ge 3) $$

となる。

以上より、求める曲線は

$$ f(x)= \begin{cases} e^{2x+4} & (x\le -2),\\[4pt] 3-\dfrac12 x^2 & (-2\le x\le 3),\\[4pt] -\dfrac32 e^{2x-6} & (x\ge 3). \end{cases} $$

最後に微分可能性を確認する。

$x=-2$ では

$$ \frac{d}{dx}\left(e^{2x+4}\right)\Big|*{x=-2}=2,\qquad \frac{d}{dx}\left(3-\frac12 x^2\right)\Big|*{x=-2}=2 $$

で一致する。

また $x=3$ では

$$ \frac{d}{dx}\left(3-\frac12 x^2\right)\Big|*{x=3}=-3,\qquad \frac{d}{dx}\left(-\frac32 e^{2x-6}\right)\Big|*{x=3}=-3 $$

で一致する。したがってこの曲線は確かに微分可能である。

解説

この問題の要点は、まず初期点 $(0,3)$ がどちらの領域にあるかを判定することである。そこから最初の微分方程式を解き、その解が境界線 $x+2y=0$ とどこで交わるかを調べれば、切り替わる点が分かる。

境界で急に別の式へ移る問題では、値の連続性だけでなく微分可能性も確認する必要がある。本問では、境界線上では $y=-\frac{x}{2}$ であるから

$$ 2y=-x $$

となり、両側の微分係数が自然に一致する形になっている。

グラフは、中央が

$$ y=3-\frac12 x^2 $$

という下に凸の放物線で、その左側は点 $(-2,1)$ に接続する正の指数関数、右側は点 $(3,-\frac32)$ に接続する負の指数関数である。作図のための代表点は

$$ (-4,e^{-4}),\ (-2,1),\ (0,3),\ (3,-\tfrac32),\ \left(5,-\tfrac32 e^4\right) $$

である。

答え

$$ y=f(x)= \begin{cases} e^{2x+4} & (x\le -2),\\[4pt] 3-\dfrac12 x^2 & (-2\le x\le 3),\\[4pt] -\dfrac32 e^{2x-6} & (x\ge 3). \end{cases} $$

したがって、$-4\le x\le 5$ におけるグラフは、左で $y=e^{2x+4}$、中央で放物線 $y=3-\dfrac12 x^2$、右で $y=-\dfrac32 e^{2x-6}$ をつないだものである。