数学3 その他応用 問題 27 解説

方針・初手

媒介変数表示された曲線の長さは

$$ L=\int_{0}^{t_0}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2},dt $$

で求められる。したがって、まず $x,y$ を $t$ で微分し、被積分関数を簡単にする。

解法1

与えられた曲線は

$$ x=\log_e\left(t+\sqrt{t^2+1}\right),\qquad y=\sqrt{t^2+1} $$

である。

まず $x$ を微分する。合成関数の微分より

$$ \frac{dx}{dt} =\frac{1}{t+\sqrt{t^2+1}}\left(1+\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}\right) $$

である。右辺を整理すると

$$ 1+\frac{t}{\sqrt{t^2+1}} =\frac{\sqrt{t^2+1}+t}{\sqrt{t^2+1}} $$

であるから、

$$ \frac{dx}{dt} =\frac{1}{t+\sqrt{t^2+1}}\cdot \frac{\sqrt{t^2+1}+t}{\sqrt{t^2+1}} =\frac{1}{\sqrt{t^2+1}} $$

となる。

次に $y$ を微分すると

$$ \frac{dy}{dt}=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}} $$

である。

したがって、弧長の被積分関数は

$$ \begin{aligned} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} &= \sqrt{\frac{1}{t^2+1}+\frac{t^2}{t^2+1}} \\ \sqrt{1} =1 \end{aligned} $$

となる。

よって、求める長さ $L$ は

$$ L=\int_0^{t_0}1,dt=t_0 $$

である。

解説

この問題の要点は、媒介変数表示のまま弧長公式を使うことである。$x=\log_e\left(t+\sqrt{t^2+1}\right)$ の微分がやや煩雑に見えるが、整理すると $\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}$ となり、$y$ の微分と合わせると被積分関数がちょうど $1$ になる。ここに気づけば計算は一気に簡単になる。

答え

求める長さは

$$ t_0 $$

である。