数学3 体積 問題 6 解説

方針・初手

回転体の体積を考えるので、円 $C_a$ の内部も含む円板を直線 $y=x$ の周りに回転させるものとして扱う。

まず、円の中心 $(a,0)$ から直線 $y=x$ までの距離を求める。この距離と半径 $a^{-p}$ が等しくなるときが接する条件である。

その後、座標軸を $45^\circ$ 回転して、直線 $y=x$ を新しい軸にとる。すると、円板をその軸の周りに回転させる問題は、通常の回転体の体積計算に帰着される。

解法1

直線 $y=x$ は $x-y=0$ と書ける。円 $C_a$ の中心 $(a,0)$ からこの直線までの距離は

$$ \frac{|a-0|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{a}{\sqrt{2}} $$

である。

円 $C_a$ の半径は $\dfrac{1}{a^p}$ であるから、接する条件は

$$ \frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{1}{a^p} $$

である。$a>0$ より、

$$ a^{p+1}=\sqrt{2} $$

となる。したがって

$$ a_0=(\sqrt{2})^{\frac{1}{p+1}}=2^{\frac{1}{2(p+1)}} $$

である。

次に、$a>a_0$ とする。このとき

$$ \frac{a}{\sqrt{2}}>\frac{1}{a^p} $$

であるから、円 $C_a$ は直線 $y=x$ と交わらない。

新しい座標を

$$ u=\frac{x+y}{\sqrt{2}},\qquad v=\frac{x-y}{\sqrt{2}} $$

とおく。直線 $y=x$ は $v=0$ となる。

中心 $(a,0)$ は

$$ \left(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{a}{\sqrt{2}}\right) $$

に移る。ここで

$$ b=\frac{a}{\sqrt{2}},\qquad r=\frac{1}{a^p} $$

とおくと、円板は

$$ (u-b)^2+(v-b)^2\le r^2 $$

と表される。

この円板を $u$ 軸の周りに回転する。固定した $u$ に対して、

$$ s=\sqrt{r^2-(u-b)^2} $$

とおくと、$v$ の範囲は

$$ b-s\le v\le b+s $$

である。$a>a_0$ より $b>r$ なので、回転してできる断面は円環である。

その断面積は

$$ \pi(b+s)^2-\pi(b-s)^2 =4\pi bs $$

である。したがって、体積 $V(a)$ は

$$ \begin{aligned} V(a) &=\int_{b-r}^{b+r}4\pi b\sqrt{r^2-(u-b)^2},du\\ &=4\pi b\int_{b-r}^{b+r}\sqrt{r^2-(u-b)^2},du \end{aligned} $$

となる。

積分部分は半径 $r$ の半円の面積であるから、

$$ \int_{b-r}^{b+r}\sqrt{r^2-(u-b)^2},du =\frac{\pi r^2}{2} $$

である。よって

$$ V(a)=4\pi b\cdot \frac{\pi r^2}{2} =2\pi^2br^2 $$

である。

ここに $b=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$、$r=\dfrac{1}{a^p}$ を代入すると、

$$ V(a) =2\pi^2\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{a^{2p}} =\sqrt{2}\pi^2a^{1-2p} $$

である。

最後に、$a\to+\infty$ の極限を考える。

$$ V(a)=\sqrt{2}\pi^2a^{1-2p} $$

より、指数 $1-2p$ の符号によって場合分けする。

(i)

$p>\dfrac12$ のとき、$1-2p<0$ であるから

$$ \lim_{a\to+\infty}V(a)=0 $$

である。

(ii)

$p=\dfrac12$ のとき、$1-2p=0$ であるから

$$ \lim_{a\to+\infty}V(a)=\sqrt{2}\pi^2 $$

である。

(iii)

$0<p<\dfrac12$ のとき、$1-2p>0$ であるから

$$ \lim_{a\to+\infty}V(a)=+\infty $$

である。

解法2

円板の面積と重心の移動距離を用いて求める。

円板の面積は

$$ \pi\left(\frac{1}{a^p}\right)^2=\frac{\pi}{a^{2p}} $$

である。また、円板の重心は円の中心 $(a,0)$ であり、直線 $y=x$ からの距離は

$$ \frac{a}{\sqrt{2}} $$

である。

$a>a_0$ のとき、円板は回転軸 $y=x$ と交わらないので、重心は半径 $\dfrac{a}{\sqrt{2}}$ の円を描く。その移動距離は

$$ 2\pi\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\pi a $$

である。

したがって、回転体の体積は

$$ \frac{\pi}{a^{2p}}\cdot \sqrt{2}\pi a =\sqrt{2}\pi^2a^{1-2p} $$

である。

よって

$$ V(a)=\sqrt{2}\pi^2a^{1-2p} $$

となり、極限は解法1と同様に

$$ \lim_{a\to+\infty}V(a)= \begin{cases} 0 & \left(p>\dfrac12\right),\\ \sqrt{2}\pi^2 & \left(p=\dfrac12\right),\\ +\infty & \left(0<p<\dfrac12\right) \end{cases} $$

である。

解説

この問題の要点は、円の中心から直線 $y=x$ までの距離を正しく使うことである。

接する条件は、中心から直線までの距離と半径が等しいことで決まる。また、$a>a_0$ のときは円板が回転軸と交わらないため、断面は円ではなく円環になる。この点を落とすと体積計算を誤る。

体積計算は、座標を $45^\circ$ 回転して積分する方法が標準的である。別解として、円板の面積と重心の移動距離を使う方法もあるが、その場合も回転軸と円板が交わらない条件 $a>a_0$ が必要である。

答え

(1)

$$ a_0=2^{\frac{1}{2(p+1)}} $$

(2)

$$ V(a)=\sqrt{2}\pi^2a^{1-2p} $$

(3)

$$ \lim_{a\to+\infty}V(a)= \begin{cases} 0 & \left(p>\dfrac12\right),\\ \sqrt{2}\pi^2 & \left(p=\dfrac12\right),\\ +\infty & \left(0<p<\dfrac12\right) \end{cases} $$