数学3 体積 問題 32 解説

方針・初手

$x$ 軸のまわりの回転体の体積は、断面積を用いて

$$ V=\pi\int_a^b y^2,dx $$

で求められる。

ここでは

$$ y=\sqrt{x}\cos x $$

であり、区間 $0\le x\le \dfrac{\pi}{2}$ では $\cos x\ge 0$ なので、このまま二乗して積分すればよい。

解法1

回転体の体積 $V$ は

$$ V=\pi\int_0^{\pi/2}(\sqrt{x}\cos x)^2,dx =\pi\int_0^{\pi/2}x\cos^2 x,dx $$

である。

ここで半角公式

$$ \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2} $$

を用いると、

$$ \int_0^{\pi/2}x\cos^2 x,dx =\frac12\int_0^{\pi/2}x,dx+\frac12\int_0^{\pi/2}x\cos 2x,dx $$

となる。

まず

$$ \frac12\int_0^{\pi/2}x,dx =\frac12\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^{\pi/2} =\frac12\cdot\frac{\pi^2}{8} =\frac{\pi^2}{16} $$

である。

次に

$$ \int_0^{\pi/2}x\cos 2x,dx $$

を部分積分で求める。 $u=x,\ dv=\cos 2x,dx$ とすると、

$$ du=dx,\quad v=\frac12\sin 2x $$

より、

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}x\cos 2x,dx &=\left[\frac{x}{2}\sin 2x\right]_0^{\pi/2}-\frac12\int_0^{\pi/2}\sin 2x,dx \\ &=0-\frac12\left[-\frac12\cos 2x\right]_0^{\pi/2} \\ &=-\frac12\left(\frac12- \left(-\frac12\right)\right) \\ &=-\frac12 \end{aligned} $$

したがって、

$$ \frac12\int_0^{\pi/2}x\cos 2x,dx =-\frac14 $$

となる。

以上より、

$$ \int_0^{\pi/2}x\cos^2 x,dx =\frac{\pi^2}{16}-\frac14 $$

であるから、

$$ V=\pi\left(\frac{\pi^2}{16}-\frac14\right) =\frac{\pi^3}{16}-\frac{\pi}{4} =\frac{\pi(\pi^2-4)}{16} $$

となる。

解説

回転体の体積では、まず $y^2$ を積分する形に持ち込むのが基本である。

本問では $y=\sqrt{x}\cos x$ なので $y^2=x\cos^2 x$ となり、$\sqrt{x}$ が消えるため計算しやすい。さらに $\cos^2 x$ はそのままでは積分しにくいので、半角公式で $\dfrac{1+\cos 2x}{2}$ に直すのが標準的な処理である。

答え

$$ \frac{\pi(\pi^2-4)}{16} $$