数学3 体積 問題 33 解説

方針・初手

$x$ 軸のまわりの回転体なので、各 $x$ における断面は円環になる。

この区間では $\cos x \geqq 0$ であるから、

$$ 1+\cos x \geqq 1-\frac{1}{2}\cos x $$

が成り立つ。したがって、外側の半径は $1+\cos x$、内側の半径は $1-\dfrac{1}{2}\cos x$ である。

よって、円環の面積を積分すれば体積が求まる。

解法1

求める体積を $V$ とすると、

$$ V=\pi \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left\{(1+\cos x)^2-\left(1-\frac{1}{2}\cos x\right)^2\right\}dx $$

である。

まず被積分関数を整理する。

$$ (1+\cos x)^2=1+2\cos x+\cos^2 x $$

$$ \left(1-\frac{1}{2}\cos x\right)^2 =1-\cos x+\frac{1}{4}\cos^2 x $$

したがって、

$$ (1+\cos x)^2-\left(1-\frac{1}{2}\cos x\right)^2 =3\cos x+\frac{3}{4}\cos^2 x $$

となるので、

$$ V=\pi \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(3\cos x+\frac{3}{4}\cos^2 x\right)dx $$

を計算すればよい。

まず、

$$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2}3\cos x,dx =3\left[\sin x\right]_{-\pi/2}^{\pi/2} =3(1-(-1))=6 $$

また、

$$ \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2} $$

より、

$$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2 x,dx =\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{1+\cos 2x}{2},dx =\frac{1}{2}\left[x+\frac{1}{2}\sin 2x\right]_{-\pi/2}^{\pi/2} =\frac{\pi}{2} $$

である。よって、

$$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{3}{4}\cos^2 x,dx =\frac{3}{4}\cdot \frac{\pi}{2} =\frac{3\pi}{8} $$

したがって、

$$ V=\pi \left(6+\frac{3\pi}{8}\right) =6\pi+\frac{3\pi^2}{8} $$

となる。

解説

この問題の要点は、回転体の体積を円環の面積

$$ \pi \left\{(\text{外半径})^2-(\text{内半径})^2\right\} $$

で処理することである。

そのためには、どちらの曲線が上側にあるかを区間内で確認する必要がある。この区間では $\cos x \geqq 0$ であるから、$1+\cos x$ が常に上側、$1-\dfrac{1}{2}\cos x$ が常に下側になる。

あとは平方して積分するだけであり、$\cos^2 x$ の積分に半角公式を用いるのが典型である。

答え

$$ 6\pi+\frac{3\pi^2}{8} $$

すなわち、

$$ \frac{3\pi}{8}(16+\pi) $$

である。