数学3 体積 問題 39 解説

方針・初手

円柱の体積と表面積をそれぞれ $r,h$ で表し、（2） では表面積一定という条件から $h$ を $r$ で表して、体積を $r$ のみの関数に直す。 その上で最大値を与える $r$ を求めればよい。

解法1

(1)

円柱の底面積は $\pi r^2$ であるから、体積 $V$ は

$$ V=\pi r^2h $$

である。

また、表面積 $S$ は側面積と上下の底面積の和であるから

$$ S=2\pi rh+2\pi r^2 $$

である。

(2)

表面積 $S$ が一定値 $a$ であるから

$$ 2\pi rh+2\pi r^2=a $$

すなわち

$$ h=\frac{a-2\pi r^2}{2\pi r}=\frac{a}{2\pi r}-r $$

と表せる。ただし、円柱であるから $r>0,\ h>0$ である。

これを体積の式に代入すると

$$ V=\pi r^2h =\pi r^2\left(\frac{a}{2\pi r}-r\right) =\frac{a}{2}r-\pi r^3 $$

となる。よって $V$ を $r$ の関数とみて微分すると

$$ V'(r)=\frac{a}{2}-3\pi r^2 $$

であるから、極値の条件 $V'(r)=0$ より

$$ \frac{a}{2}-3\pi r^2=0 $$

$$ r^2=\frac{a}{6\pi} $$

したがって

$$ r=\sqrt{\frac{a}{6\pi}} $$

を得る。さらに

$$ V''(r)=-6\pi r $$

であり、$r>0$ だから $V''(r)<0$ である。よってこのとき $V$ は最大となる。

この $r$ を

$$ h=\frac{a}{2\pi r}-r $$

に代入すると

$$ \frac{a}{2\pi r} =\frac{6\pi r^2}{2\pi r} =3r $$

より

$$ h=3r-r=2r $$

となる。したがって

$$ h=2\sqrt{\frac{a}{6\pi}} =\sqrt{\frac{2a}{3\pi}} $$

である。

解説

この問題の要点は、表面積一定という条件を使って変数を1つ減らすことである。 体積 $V=\pi r^2h$ は $r,h$ の2変数の式であるが、表面積の条件

$$ 2\pi rh+2\pi r^2=a $$

から $h$ を $r$ で表せば、1変数関数の最大値問題になる。

計算結果として $h=2r$ となる。すなわち、表面積が一定の円柱のうち体積が最大になるのは、高さが直径に等しい円柱である。

答え

(1)

$$ V=\pi r^2h,\qquad S=2\pi rh+2\pi r^2 $$

(2)

体積が最大となるのは

$$ r=\sqrt{\frac{a}{6\pi}},\qquad h=2\sqrt{\frac{a}{6\pi}}=\sqrt{\frac{2a}{3\pi}} $$

のときである。すなわち

$$ h=2r $$

となるようにとればよい。