数学3 体積 問題 45 解説

方針・初手

曲線は $x,y \geqq 0$ の範囲で考える。曲線

$$ \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a} $$

は

$$ y=(\sqrt{a}-\sqrt{x})^2 \quad (0 \leqq x \leqq a) $$

と表せる。直線 $x+y=a$、すなわち $y=a-x$ と比較して、どちらが上にあるかを調べる。

回転体の体積では、回転軸 $x+y=a$ に平行な切片を考えると処理しやすい。

解法1

まず曲線を $y$ について表すと、

$$ \sqrt{y}=\sqrt{a}-\sqrt{x} $$

より

$$ y=(\sqrt{a}-\sqrt{x})^2 =a-2\sqrt{ax}+x $$

である。ここで $0 \leqq x \leqq a$ である。

直線 $y=a-x$ との差をとると、

$$ (a-x)-{a-2\sqrt{ax}+x} =2\sqrt{ax}-2x =2\sqrt{x}(\sqrt{a}-\sqrt{x}) $$

となる。これは $0 \leqq x \leqq a$ で $0$ 以上であるから、曲線は直線 $x+y=a$ の下側にある。

したがって $D$ は、第一象限で、線分 $x+y=a$ と、点 $(a,0)$、$(0,a)$ を結ぶ曲線

$$ \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a} $$

に挟まれた部分である。曲線は直線より下側にふくらんだ形であり、$D$ はその上側にある。

面積 $S$ は

$$ S=\int_0^a \left\{(a-x)-(\sqrt{a}-\sqrt{x})^2\right\},dx $$

である。よって

$$ \begin{aligned} S &=\int_0^a \left(2\sqrt{ax}-2x\right),dx \\ &=2\sqrt{a}\int_0^a \sqrt{x},dx-2\int_0^a x,dx \\ &=2\sqrt{a}\cdot \frac{2}{3}a^{3/2}-2\cdot \frac{a^2}{2} \\ &=\frac{4}{3}a^2-a^2 \\ &=\frac{1}{3}a^2. \end{aligned} $$

次に、直線 $x+y=a$ を軸として回転したときの体積を求める。

$s=x+y$ とおく。回転軸は $s=a$ であり、軸から直線 $x+y=s$ までの距離は

$$ \frac{a-s}{\sqrt{2}} $$

である。

曲線上では

$$ \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a} $$

より、両辺を二乗して

$$ x+y+2\sqrt{xy}=a $$

である。したがって、$x+y=s$ とおくと

$$ 2\sqrt{xy}=a-s $$

となり、

$$ xy=\frac{(a-s)^2}{4} $$

を得る。

一方、$x+y=s$ 上では $y=s-x$ であるから、

$$ x(s-x)=\frac{(a-s)^2}{4} $$

を解く。すなわち

$$ x^2-sx+\frac{(a-s)^2}{4}=0 $$

である。判別式は

$$ s^2-(a-s)^2=a(2s-a) $$

であるから、実際に切片が存在するためには

$$ \frac{a}{2}\leqq s\leqq a $$

である。

このとき、2つの交点の $x$ 座標の差は

$$ \sqrt{a(2s-a)} $$

である。直線 $x+y=s$ 上では、$x$ 座標の差を $\Delta x$ とすると線分の長さは $\sqrt{2}\Delta x$ だから、切片の長さは

$$ \sqrt{2a(2s-a)} $$

である。

$s$ から $s+ds$ までの薄い帯の幅は、直線 $x+y=s$ に垂直な方向で

$$ \frac{ds}{\sqrt{2}} $$

である。したがって、この薄い帯の面積は

$$ \sqrt{2a(2s-a)}\cdot \frac{ds}{\sqrt{2}} =\sqrt{a(2s-a)},ds $$

である。

この薄い帯を軸 $x+y=a$ のまわりに回転すると、半径

$$ \frac{a-s}{\sqrt{2}} $$

の薄い円環状の体積になる。よって体積 $V$ は

$$ V=\int_{a/2}^{a} 2\pi\cdot \frac{a-s}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{a(2s-a)},ds $$

である。したがって

$$ V=\sqrt{2}\pi\sqrt{a}\int_{a/2}^{a}(a-s)\sqrt{2s-a},ds $$

となる。

ここで

$$ t=2s-a $$

とおくと、

$$ ds=\frac{1}{2}dt,\qquad a-s=\frac{a-t}{2} $$

であり、$s=a/2$ のとき $t=0$、$s=a$ のとき $t=a$ である。よって

$$ \begin{aligned} \int_{a/2}^{a}(a-s)\sqrt{2s-a},ds &=\int_0^a \frac{a-t}{2}\sqrt{t}\cdot \frac{1}{2},dt \\ &=\frac{1}{4}\int_0^a (a-t)t^{1/2},dt \\ &=\frac{1}{4}\left(a\int_0^a t^{1/2},dt-\int_0^a t^{3/2},dt\right) \\ &=\frac{1}{4}\left(a\cdot \frac{2}{3}a^{3/2}-\frac{2}{5}a^{5/2}\right) \\ &=\frac{1}{4}\left(\frac{2}{3}-\frac{2}{5}\right)a^{5/2} \\ &=\frac{1}{15}a^{5/2}. \end{aligned} $$

したがって

$$ V=\sqrt{2}\pi\sqrt{a}\cdot \frac{1}{15}a^{5/2} =\frac{\sqrt{2}}{15}\pi a^3 $$

である。

解説

曲線 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$ は、$x,y \geqq 0$ の範囲だけで考える点に注意する。両端は $(a,0)$、$(0,a)$ であり、直線 $x+y=a$ とこの2点で交わる。

面積は $x$ で縦に積分すれば素直に求まる。一方、回転軸が斜めの直線であるため、体積では $x$ 軸や $y$ 軸に垂直な断面を使うと複雑になる。そこで、回転軸に平行な直線 $x+y=s$ による薄い帯を考えるのが有効である。

この方法では、軸からの距離が $\dfrac{a-s}{\sqrt{2}}$ と簡単に表される。また、曲線との交点を $x+y=s$、$xy=\dfrac{(a-s)^2}{4}$ から求められるため、切片の長さも整理しやすい。

答え

(1)

$D$ は第一象限で、直線 $x+y=a$ と曲線 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$ に挟まれた部分である。曲線は $(a,0)$、$(0,a)$ を結び、直線 $x+y=a$ の下側にある。

面積は

$$ \frac{a^2}{3} $$

である。

(2)

求める回転体の体積は

$$ \frac{\sqrt{2}}{15}\pi a^3 $$

である。