数学3 体積 問題 54 解説

方針・初手

線分 $PQ$ を $x$ を用いて表すと、回転後の曲面 $S$ は「各 $x$ における、$x$ 軸からの距離」を半径とする円でできていることが分かる。

したがって、まず線分 $PQ$ 上の点の座標を $x$ で表し、半径 $r(x)=\sqrt{y^2+z^2}$ を求めるのが初手である。これにより、体積も切り口も同じ式から処理できる。

解法1

線分 $PQ$ を媒介変数 $u$ を用いて表すと、

$$ (x,y,z)=(1,0,1)+u(-2,1,-1)\qquad (0\le u\le 1) $$

である。

ここで $x=1-2u$ より

$$ u=\frac{1-x}{2} $$

だから、線分 $PQ$ 上の点は

$$ y=\frac{1-x}{2},\qquad z=\frac{1+x}{2} $$

と表せる。

したがって、その点の $x$ 軸からの距離 $r$ は

$$ r^2=y^2+z^2 =\left(\frac{1-x}{2}\right)^2+\left(\frac{1+x}{2}\right)^2 =\frac{1+x^2}{2} $$

である。

よって、回転してできる立体は

$$ -1\le x\le 1,\qquad y^2+z^2\le \frac{1+x^2}{2} $$

で表される。

（1） 体積

$x$ を一定にして切ると、断面は半径 $\sqrt{\dfrac{1+x^2}{2}}$ の円であるから、その面積は

$$ \pi r^2=\pi\cdot \frac{1+x^2}{2} $$

である。

したがって体積 $V$ は

$$ V=\int_{-1}^{1}\pi\cdot \frac{1+x^2}{2},dx =\frac{\pi}{2}\int_{-1}^{1}(1+x^2),dx $$

$$ =\frac{\pi}{2}\left[x+\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} =\frac{\pi}{2}\left(\frac{4}{3}-\left(-\frac{4}{3}\right)\right) $$

上の最後は整理すると

$$ V=\frac{\pi}{2}\left(2+\frac{2}{3}\right) =\frac{\pi}{2}\cdot \frac{8}{3} =\frac{4\pi}{3} $$

となる。

（2） 平面 $y=0$ による切り口

立体の方程式

$$ y^2+z^2\le \frac{1+x^2}{2} $$

に $y=0$ を代入すると、

$$ z^2\le \frac{1+x^2}{2}\qquad (-1\le x\le 1) $$

となる。

したがって、切り口は平面 $y=0$ 上、すなわち $xz$ 平面において

$$ -\sqrt{\frac{1+x^2}{2}}\le z\le \sqrt{\frac{1+x^2}{2}} \qquad (-1\le x\le 1) $$

で表される部分である。

境界は

$$ z=\pm \sqrt{\frac{1+x^2}{2}}\qquad (-1\le x\le 1) $$

であり、さらに両端は直線

$$ x=-1,\qquad x=1 $$

で閉じる。

図示する際の主要な点は

$$ (x,z)=(-1,\pm 1),\ (0,\pm \tfrac{1}{\sqrt2}),\ (1,\pm 1) $$

である。上下対称な2曲線 $z=\pm \sqrt{\dfrac{1+x^2}{2}}$ に挟まれた領域として描けばよい。

（3） 積分の計算と切り口の面積

まず

$$ I=\int_0^1 \sqrt{t^2+1},dt $$

を求める。

$t=\dfrac{e^s-e^{-s}}{2}$ とおくと、これは $t=\sinh s$ であるから

$$ dt=\frac{e^s+e^{-s}}{2},ds=\cosh s,ds $$

また

$$ \sqrt{t^2+1}=\sqrt{\sinh^2 s+1}=\cosh s $$

である。

$t=0$ のとき $s=0$、$t=1$ のとき $\sinh s=1$ であるから

$$ s=\log(1+\sqrt2) $$

となる。よって

$$ I=\int_0^{\log(1+\sqrt2)} \cosh^2 s,ds $$

ここで

$$ \cosh^2 s=\left(\frac{e^s+e^{-s}}{2}\right)^2 =\frac{e^{2s}+2+e^{-2s}}{4} $$

であるから、

$$ I=\int_0^{\log(1+\sqrt2)} \frac{e^{2s}+2+e^{-2s}}{4},ds $$

$$ =\left[\frac{e^{2s}-e^{-2s}}{8}+\frac{s}{2}\right]_0^{\log(1+\sqrt2)} $$

$a=\log(1+\sqrt2)$ とおくと

$$ e^a=1+\sqrt2,\qquad e^{-a}=\sqrt2-1 $$

より

$$ e^{2a}-e^{-2a} =(1+\sqrt2)^2-(\sqrt2-1)^2 =4\sqrt2 $$

である。したがって

$$ I=\frac{4\sqrt2}{8}+\frac{1}{2}\log(1+\sqrt2) =\frac{\sqrt2}{2}+\frac{1}{2}\log(1+\sqrt2) $$

すなわち

$$ \int_0^1 \sqrt{t^2+1},dt =\frac{\sqrt2+\log(1+\sqrt2)}{2} $$

である。

次に、（2） の切り口の面積を $A$ とすると、

$$ A=\int_{-1}^{1}\left\{\sqrt{\frac{1+x^2}{2}}-\left(-\sqrt{\frac{1+x^2}{2}}\right)\right\}dx $$

$$ =\int_{-1}^{1}2\sqrt{\frac{1+x^2}{2}},dx =\sqrt2\int_{-1}^{1}\sqrt{1+x^2},dx $$

被積分関数は偶関数であるから

$$ A=2\sqrt2\int_0^1\sqrt{1+x^2},dx $$

ここで上で求めた積分を用いれば

$$ A=2\sqrt2\cdot \frac{\sqrt2+\log(1+\sqrt2)}{2} $$

$$ =2+\sqrt2\log(1+\sqrt2) $$

となる。

解説

この問題の本質は、回転体を「$x$ を固定した円断面の集まり」と見抜くことである。線分そのものを回しているが、必要なのは線分上の各点の $x$ 軸からの距離だけである。

また、（2） の切り口は回転後の曲面そのものを直接追うより、立体の不等式

$$ y^2+z^2\le \frac{1+x^2}{2} $$

を作ってから $y=0$ を代入する方が確実である。

（3） では $\sqrt{1+t^2}$ 型の積分を双曲線関数型の置換 $t=\sinh s$ で処理している。指定された置換 $t=\dfrac{e^s-e^{-s}}{2}$ はまさにそれであり、$\sqrt{1+t^2}$ が $\cosh s$ に変わるため計算が整う。

答え

(1)

体積は

$$ \frac{4\pi}{3} $$

である。

(2)

切り口は平面 $y=0$（$xz$ 平面）における

$$ z=\pm \sqrt{\frac{1+x^2}{2}}\qquad (-1\le x\le 1) $$

に挟まれた領域である。

(3)

$$ \int_0^1 \sqrt{t^2+1},dt =\frac{\sqrt2+\log(1+\sqrt2)}{2} $$

したがって、（2） の切り口の面積は

$$ 2+\sqrt2\log(1+\sqrt2) $$

である。