数学3 体積 問題 55 解説

方針・初手

$x$ 軸のまわりの回転体であるから、$x$ を固定したときの断面は半径

$$ \min{\sin x,\ t-x} $$

の円となる。

したがって、まず曲線 $y=\sin x$ と直線 $y=t-x$ の交点を $x=a$ とおき、断面の半径がどこで切り替わるかを整理する。

解法1

与えられた領域は

$$ 0\le y\le \sin x,\qquad 0\le x\le t-y $$

で表される。

第2の不等式は

$$ x+y\le t $$

と同値であるから、$x$ を固定すると

$$ 0\le y\le \min{\sin x,\ t-x} $$

となる。

ここで $0<t<3<\pi$ であるから、$0\le x\le t$ において $\sin x>0$ である。 また、$y=\sin x$ と $y=t-x$ の交点の $x$ 座標を $a$ とすると

$$ \sin a=t-a $$

すなわち

$$ t=a+\sin a $$

である。

関数

$$ g(x)=x+\sin x $$

を考えると、

$$ g'(x)=1+\cos x>0\qquad (0\le x\le t<3<\pi) $$

であるから、交点 $a$ はただ1つである。

よって体積 $V(t)$ は

$$ V(t)=\pi\int_0^a \sin^2 x,dx+\pi\int_a^t (t-x)^2,dx $$

となる。

次に $t$ で微分する。$a=a(t)$ とみなして Leibniz の公式を用いると、

$$ \begin{aligned} \frac{dV}{dt} &= \pi\sin^2 a\frac{da}{dt} + \pi\left( -(t-a)^2\frac{da}{dt} +\int_a^t 2(t-x),dx \right) \end{aligned} $$

である。ここで $t-a=\sin a$ より

$$ (t-a)^2=\sin^2 a $$

だから、第1項と第2項の境界項は打ち消し合い、

$$ \begin{aligned} \frac{dV}{dt} &= \pi\int_a^t 2(t-x),dx \\ \pi(t-a)^2 \\ \pi\sin^2 a \end{aligned} $$

を得る。

条件

$$ \frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{4} $$

より

$$ \pi\sin^2 a=\frac{\pi}{4} \quad\Longrightarrow\quad \sin^2 a=\frac14 $$

したがって

$$ \sin a=\frac12 $$

である。

$0<a<t<3$ かつ $a+\sin a=t<3$ なので、$a=\dfrac{5\pi}{6}$ では

$$ t=\frac{5\pi}{6}+\frac12>3 $$

となって不適である。よって

$$ a=\frac{\pi}{6} $$

である。

このとき

$$ V(t)=\pi\int_0^{\pi/6}\sin^2 x,dx+\pi\int_{\pi/6}^t (t-x)^2,dx $$

であり、後者は $t-a=\sin a=\dfrac12$ を用いて

$$ \begin{aligned} \int_{\pi/6}^t (t-x)^2,dx &= \int_0^{t-\pi/6} u^2,du \\ \frac13\left(\frac12\right)^3 \\ \frac1{24} \end{aligned} $$

となる。また

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/6}\sin^2 x,dx &= \int_0^{\pi/6}\frac{1-\cos 2x}{2},dx \\ \left[\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\pi/6} \\ \frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt3}{8} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} V(t) &= \pi\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt3}{8}+\frac1{24}\right) \\ \frac{\pi}{24}\left(2\pi+1-3\sqrt3\right) \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の要点は、領域を

$$ y\le \sin x,\qquad y\le t-x $$

の共通部分として見て、回転断面の半径が $\sin x$ と $t-x$ の小さい方になると捉えることである。

そのうえで、交点 $a$ を

$$ t=a+\sin a $$

で表すと、微分後に境界項が消え、

$$ \frac{dV}{dt}=\pi\sin^2 a $$

という簡潔な式になる。ここまで整理できれば計算は素直である。

答え

$$ V(t)=\frac{\pi}{24}\left(2\pi+1-3\sqrt3\right) $$

ただし、これは

$$ \frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{4} $$

となるときの値である。