数学3 体積 問題 82 解説

方針・初手

まず微分して増減を調べれば、極値をとる $x$ がただ 1 つであることは直ちに確認できる。

その値を $c$ とすると、$f(1)=0$ かつ $f(x)>0$ となるのは $1<x<c$ であるから、面積も体積も区間 $[1,c]$ における積分で求まる。

解法1

(1)

$$ f(x)=x^{-\frac12}\log x \qquad (x>0) $$

とおくと、

$$ f'(x)=\left(x^{-\frac12}\right)' \log x+x^{-\frac12}\cdot \frac1x =-\frac12 x^{-\frac32}\log x+x^{-\frac32} =\frac{2-\log x}{2x^{3/2}} $$

である。

ここで $x>0$ では分母 $2x^{3/2}$ は常に正であるから、$f'(x)$ の符号は $2-\log x$ の符号だけで決まる。

また、$\log x$ は $x>0$ で単調増加するので、方程式

$$ 2-\log x=0 $$

はただ 1 つの解

$$ x=e^2 $$

をもつ。

したがって、$f'(x)$ は

• $0<x<e^2$ で正
• $x>e^2$ で負

となる。よって $f(x)$ は $x=e^2$ でただ 1 つ極値をとる。しかもそれは極大値である。

(2)

（1） より

$$ c=e^2 $$

である。

さらに、

$$ f(1)=\frac{\log 1}{\sqrt1}=0 $$

であり、$1<x<e^2$ では $\log x>0$ だから $f(x)>0$ である。したがって、$D$ は $x=1$ から $x=e^2$ までの曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれる部分である。

よって面積 $S$ は

$$ S=\int_1^{e^2}\frac{\log x}{\sqrt x},dx $$

となる。

ここで、

$$ \int \frac{\log x}{\sqrt x},dx =2\sqrt x \log x-4\sqrt x $$

であるから、

$$ \begin{aligned} S &=\left[2\sqrt x \log x-4\sqrt x\right]_1^{e^2} \\ &=\left(2e\cdot 2-4e\right)-\left(2\cdot 1\cdot 0-4\cdot 1\right) \\ &=0-(-4) \\ &=4 \end{aligned} $$

したがって、

$$ Dの面積は4 $$

である。

(3)

$D$ を $x$ 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を $V$ とすると、円板法より

$$ V=\pi \int_1^{e^2}\left(\frac{\log x}{\sqrt x}\right)^2 dx =\pi \int_1^{e^2}\frac{(\log x)^2}{x},dx $$

となる。

ここで

$$ t=\log x $$

とおくと、

$$ dt=\frac{dx}{x} $$

であり、$x=1$ のとき $t=0$、$x=e^2$ のとき $t=2$ である。したがって、

$$ \begin{aligned} V &=\pi \int_0^2 t^2,dt \\ &=\pi \left[\frac{t^3}{3}\right]_0^2 \\ &=\pi \cdot \frac{8}{3} \end{aligned} $$

よって、

$$ V=\frac{8\pi}{3} $$

である。

解説

この問題の要点は、$\dfrac{\log x}{\sqrt x}$ をそのまま複雑に見るのではなく、まず微分して増減を調べることである。分母は常に正なので、符号判定が $2-\log x$ に帰着し、極値をとる点がただ 1 つであることが明確になる。

また、面積では $f(1)=0$ を見落とさず、囲まれる範囲が $[1,e^2]$ であることを正確に押さえる必要がある。体積では回転軸が $x$ 軸であるから、断面積が $\pi y^2$ になることを用いればよい。

答え

(1)

極値をとる $x$ の値はただ 1 つであり、

$$ x=e^2 $$

である。

(2)

$c=e^2$ であり、$D$ の面積は

$$ 4 $$

である。

(3)

求める立体の体積は

$$ \frac{8\pi}{3} $$

である。