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数学3 体積問題 91 解説

方針・初手

$\ell_1:y=x$ に垂直な直線の傾きは $-1$ である。したがって、接点 $B$ における $C_1$ の接線の傾きが $-1$ になることから $b$ を求める。

回転体の体積は、軸 $\ell_1$ に垂直な断面を考えるとよい。$\ell_1$ 上の点 $P$ から曲線 $C_2$ までの距離を半径とする円板を積分する。

解法1

(1)

$$ f(x)=11x-9\sqrt{2}x^2 $$

より、

$$ f'(x)=11-18\sqrt{2}x $$

である。

$\ell_2$ は $\ell_1:y=x$ に垂直なので、その傾きは $-1$ である。また、$\ell_2$ は $C_1$ に点 $B(b,f(b))$ で接しているから、

$$ f'(b)=-1 $$

である。よって、

$$ 11-18\sqrt{2}b=-1 $$

より、

$$ 18\sqrt{2}b=12 $$

したがって、

$$ b=\frac{12}{18\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3} $$

である。

このとき、

$$ f(b)=11\cdot \frac{\sqrt{2}}{3}-9\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 $$

$$ =\frac{11\sqrt{2}}{3}-2\sqrt{2} =\frac{5\sqrt{2}}{3} $$

である。

点 $B$ における接線 $\ell_2$ は傾き $-1$ なので、

$$ y-\frac{5\sqrt{2}}{3}=-\left(x-\frac{\sqrt{2}}{3}\right) $$

すなわち、

$$ x+y=2\sqrt{2} $$

である。

点 $A(a,a)$ はこの直線上にあるから、

$$ a+a=2\sqrt{2} $$

より、

$$ a=\sqrt{2} $$

である。

したがって、

$$ a=\sqrt{2},\qquad b=\frac{\sqrt{2}}{3} $$

である。

(2)

点 $P$ は第 $1$ 象限にある $\ell_1:y=x$ 上の点で、$OP=t$ である。よって、

$$ P\left(\frac{t}{\sqrt{2}},\frac{t}{\sqrt{2}}\right) $$

である。

点 $P$ を通り $\ell_1$ に垂直な直線は傾き $-1$ だから、

$$ y-\frac{t}{\sqrt{2}}=-\left(x-\frac{t}{\sqrt{2}}\right) $$

すなわち、

$$ x+y=\sqrt{2}t $$

である。

$Q$ の $x$ 座標を $X$ とおくと、$Q$ は $C_2$ 上にあるので $Q=(X,f(X))$ である。また $Q$ は上の直線上にあるから、

$$ X+f(X)=\sqrt{2}t $$

である。したがって、

$$ X+11X-9\sqrt{2}X^2=\sqrt{2}t $$

より、

$$ 9\sqrt{2}X^2-12X+\sqrt{2}t=0 $$

を得る。これを解くと、

$$ X=\frac{12\pm \sqrt{144-72t}}{18\sqrt{2}} $$

であるから、

$$ X=\frac{2\pm \sqrt{4-2t}}{3\sqrt{2}} $$

となる。

ここで、$0<t<\sqrt{2}a=2$ であり、$C_2$ は $0\leqq x\leqq b$、すなわち

$$ 0\leqq x\leqq \frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{2}{3\sqrt{2}} $$

の部分である。

一方、

$$ \frac{2+\sqrt{4-2t}}{3\sqrt{2}}>\frac{2}{3\sqrt{2}}=b $$

であるから、これは $C_2$ 上の点ではない。したがって、$Q$ の $x$ 座標は

$$ \frac{2-\sqrt{4-2t}}{3\sqrt{2}} $$

である。

(3)

$\ell_1$ を回転軸とし、$\ell_1$ に垂直な直線で切った断面を考える。

$P$ を $\ell_1$ 上の点で $OP=t$ とすると、$t$ は $0$ から $2$ まで動く。断面は半径 $PQ$ の円板になるので、体積 $V$ は

$$ V=\pi\int_0^2 PQ^2,dt $$

である。

ここで、$Q=(x,f(x))$ とおく。$Q$ は点 $P$ を通る $\ell_1$ に垂直な直線上にあるから、

$$ t=\frac{x+f(x)}{\sqrt{2}} $$

である。したがって、

$$ t=\frac{x+11x-9\sqrt{2}x^2}{\sqrt{2}} =6\sqrt{2}x-9x^2 $$

となる。

また、点 $Q$ と直線 $\ell_1:y=x$ との距離が $PQ$ であるから、

$$ PQ=\frac{f(x)-x}{\sqrt{2}} $$

である。$0\leqq x\leqq b$ では $f(x)\geqq x$ であるため、この式をそのまま用いてよい。よって、

$$ PQ=\frac{11x-9\sqrt{2}x^2-x}{\sqrt{2}} =5\sqrt{2}x-9x^2 $$

である。

さらに、

$$ \frac{dt}{dx}=6\sqrt{2}-18x $$

であり、$x$ は $0$ から $b=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ まで動く。したがって、

$$ V=\pi\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{3}} (5\sqrt{2}x-9x^2)^2(6\sqrt{2}-18x),dx $$

である。

被積分関数を展開すると、

$$ \begin{aligned} (5\sqrt{2}x-9x^2)^2(6\sqrt{2}-18x) &= 300\sqrt{2}x^2-1980x^3+2106\sqrt{2}x^4-1458x^5 \end{aligned} $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} V &=\pi\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{3}} \left( 300\sqrt{2}x^2-1980x^3+2106\sqrt{2}x^4-1458x^5 \right),dx\\ &=\pi\left[ 100\sqrt{2}x^3-495x^4+\frac{2106\sqrt{2}}{5}x^5-243x^6 \right]_0^{\frac{\sqrt{2}}{3}}\\ &=\frac{212\pi}{135} \end{aligned} $$

である。