数学3 体積 問題 93 解説

方針・初手

2曲線は

$$ C_1:\ y=\frac{3\log x}{x^2},\qquad C_2:\ y=3h^2\log x \qquad (x\geqq 1) $$

である。

まず共有点は、両式を等しくして $\log x$ をくくれば求まる。 また、面積・体積では

$$ \int \frac{\log x}{x^2},dx,\qquad \int \frac{(\log x)^2}{x^4},dx,\qquad \int (\log x)^2,dx $$

を計算すればよい。 設問(2)は、設問(3)(5)の積分計算を見通しよくするための準備になっている。

解法1

（1） 共有点を求める。

$$ \frac{3\log x}{x^2}=3h^2\log x $$

より、

$$ \log x\left(\frac{1}{x^2}-h^2\right)=0 $$

となる。

したがって、

$$ \log x=0 \iff x=1 $$

または

$$ \frac{1}{x^2}-h^2=0 \iff x=\frac{1}{h} $$

である。ここで $0<h<1$ だから $\dfrac1h>1$ であり、どちらも定義域 $x\geqq 1$ に入る。

対応する $y$ 座標は

$$ x=1\ \Rightarrow\ y=0 $$

$$ x=\frac1h\ \Rightarrow\ y=3h^2\log\frac1h=-3h^2\log h $$

である。

よって共有点は

$$ (1,0),\ \left(\frac1h,-3h^2\log h\right) $$

の2点である。

(2)

$v(x),w(x)$ を求める。

まず

$$ f(x)=\frac{(\log x)^n}{x^{2n-1}}=(\log x)^n x^{-(2n-1)} $$

より、積の微分を用いて

$$ \begin{aligned} f'(x) &=n(\log x)^{n-1}\cdot \frac1x \cdot x^{-(2n-1)} +(\log x)^n\cdot (-(2n-1)x^{-2n}) \\ &=\frac{n(\log x)^{n-1}}{x^{2n}}+(-2n+1)\frac{(\log x)^n}{x^{2n}}. \end{aligned} $$

したがって

$$ v(x)=\frac{n(\log x)^{n-1}}{x^{2n}} $$

である。

次に

$$ g(x)=x(\log x)^n $$

より、

$$ \begin{aligned} g'(x) &=(\log x)^n+x\cdot n(\log x)^{n-1}\cdot \frac1x \\ &=(\log x)^n+n(\log x)^{n-1}. \end{aligned} $$

ゆえに

$$ w(x)=n(\log x)^{n-1} $$

である。

（3） 面積 $S(h)$ を求める。

$1<x<\dfrac1h$ では $\log x>0$ であり、さらに $x<\dfrac1h$ から

$$ \frac1{x^2}>h^2 $$

なので、

$$ \frac{3\log x}{x^2}>3h^2\log x $$

となる。したがって、この区間では $C_1$ が上側、$C_2$ が下側である。

よって面積は

$$ S(h)=\int_1^{1/h}\left(\frac{3\log x}{x^2}-3h^2\log x\right),dx $$

である。

ここで

$$ \int \frac{\log x}{x^2},dx=-\frac{\log x+1}{x},\qquad \int \log x,dx=x\log x-x $$

であるから、

$$ \begin{aligned} S(h) &=3\left[-\frac{\log x+1}{x}\right]_1^{1/h} -3h^2\left[x\log x-x\right]_1^{1/h} \\ &=3\left\{-h\left(\log\frac1h+1\right)+1\right\} -3h^2\left(\frac1h\log\frac1h-\frac1h+1\right). \end{aligned} $$

$\log \dfrac1h=-\log h$ を用いて整理すると、

$$ \begin{aligned} S(h) &=3(1+h\log h-h)-3(-h\log h-h+h^2) \\ &=3(1-h^2+2h\log h). \end{aligned} $$

したがって

$$ S(h)=3(1-h^2+2h\log h) $$

である。

(4)

$\displaystyle \lim_{h\to+0}S(h)$ を求める。

(3)より

$$ S(h)=3(1-h^2+2h\log h) $$

であるから、

$$ \lim_{h\to+0}S(h) =3\left(1-\lim_{h\to+0}h^2+2\lim_{h\to+0}h\log h\right). $$

ここで $\lim\limits_{h\to+0}h^2=0$ および、問題文の指示より $\lim\limits_{h\to+0}h\log h=0$ を用いると、

$$ \lim_{h\to+0}S(h)=3 $$

となる。

(5)

$\displaystyle \lim_{h\to+0}T(h)$ を求める。

$x$ 軸のまわりに回転させるので、体積は円板法により

$$ T(h)=\pi\int_1^{1/h}\left\{\left(\frac{3\log x}{x^2}\right)^2-(3h^2\log x)^2\right\},dx $$

すなわち

$$ T(h)=9\pi\int_1^{1/h}\left(\frac{(\log x)^2}{x^4}-h^4(\log x)^2\right),dx $$

である。

まず

$$ I_1=\int_1^{1/h}\frac{(\log x)^2}{x^4},dx $$

を求める。$t=\log x$ とおくと $x=e^t,\ dx=e^t dt$ であり、

$$ I_1=\int_0^{-\log h} t^2e^{-3t},dt $$

となる。部分積分を2回行うと、

$$ \int t^2e^{-3t},dt =-\frac13 t^2e^{-3t}-\frac29 te^{-3t}-\frac{2}{27}e^{-3t} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} I_1 &=\left[-\frac13 t^2e^{-3t}-\frac29 te^{-3t}-\frac{2}{27}e^{-3t}\right]_0^{-\log h} \\ &=\frac{2}{27}-\frac13 h^3(\log h)^2+\frac29 h^3\log h-\frac{2}{27}h^3. \end{aligned} $$

次に

$$ I_2=\int_1^{1/h}(\log x)^2,dx $$

については、

$$ \int (\log x)^2,dx=x\left\{(\log x)^2-2\log x+2\right\} $$

より、

$$ I_2 =\left[x\left\{(\log x)^2-2\log x+2\right\}\right]_1^{1/h} =\frac{(\log h)^2+2\log h+2}{h}-2 $$

となる。

よって

$$ T(h)=9\pi\left\{ \frac{2}{27}-\frac13 h^3(\log h)^2+\frac29 h^3\log h-\frac{2}{27}h^3 -h^4\left(\frac{(\log h)^2+2\log h+2}{h}-2\right) \right\}. $$

ここで

$$ h^3\log h=h^2(h\log h)\to 0, \qquad h^3(\log h)^2=h(h\log h)^2\to 0 \qquad (h\to+0) $$

であり、また $h^3,\ h^4\to 0$ であるから、括弧内で残るのは $\dfrac{2}{27}$ のみである。

したがって

$$ \lim_{h\to+0}T(h)=9\pi\cdot \frac{2}{27}=\frac{2\pi}{3} $$

である。

解説

この問題では、2曲線の式に共通して $\log x$ が含まれていることが最重要である。共有点は $\log x=0$ と $\dfrac1{x^2}-h^2=0$ に分けて処理すれば一気に求まる。

また、面積・体積はどちらも $x=1$ から $x=\dfrac1h$ までの積分になる。 特に体積では

$$ \frac{(\log x)^2}{x^4} $$

の積分が本質であり、$t=\log x$ の置換によって指数関数の積分に直すと計算しやすい。

極限では、問題文で許されている

$$ \lim_{h\to+0}h\log h=0 $$

を基準にして、

$$ h^3\log h,\qquad h^3(\log h)^2 $$

も 0 に落ちることを丁寧に確認するのがポイントである。

答え

$$ \text{（1）}\quad (1,0),\ \left(\frac1h,-3h^2\log h\right) $$

$$ \text{（2）}\quad v(x)=\frac{n(\log x)^{n-1}}{x^{2n}},\qquad w(x)=n(\log x)^{n-1} $$

$$ \text{（3）}\quad S(h)=3(1-h^2+2h\log h) $$

$$ \text{（4）}\quad \lim_{h\to+0}S(h)=3 $$

$$ \text{（5）}\quad \lim_{h\to+0}T(h)=\frac{2\pi}{3} $$