数学3 体積 問題 94 解説

方針・初手

直線 $OC$ は方向ベクトル $(1,1,0)$ をもち，$\triangle OAB$ をこの直線のまわりに回転すると，軸が $OC$ の直円すいができる。

したがって，

• （1） では，点 $P$ の $OC$ への正射影を求める。
• （2） では，軸上の位置と軸からの距離で $L$ を表す。
• （3） では，$x=a$ で切った断面を $yz$ 平面内の図形として調べる。
• （4） では，（3） の断面積を積分して体積を出す。

解法1

(1)

$\vec{OH},\ \vec{HP}$ を求める。

直線 $OC$ の方向ベクトルは $(1,1,0)$ であるから，$H$ は

$$ H=(t,t,0) $$

とおける。

ここで $PH\perp OC$ より，

$$ \vec{HP}=(x-t,\ y-t,\ z) $$

は $(1,1,0)$ と垂直である。よって

$$ (x-t,\ y-t,\ z)\cdot(1,1,0)=0 $$

すなわち

$$ x-t+y-t=0 $$

となるので，

$$ t=\frac{x+y}{2} $$

である。

したがって，

$$ \vec{OH}=\left(\frac{x+y}{2},\ \frac{x+y}{2},\ 0\right) $$

また，

$$ \begin{aligned} \vec{HP} &= \left( x-\frac{x+y}{2},\\ y-\frac{x+y}{2},\\ z \right) &= \left( \frac{x-y}{2},\\ \frac{y-x}{2},\\ z \right) \end{aligned} $$

である。

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(2)

$P(x,y,z)$ が $L$ 上にあるための条件を示す。

まず，$C$ は $AB$ の中点であり，

$$ \vec{OC}=(1,1,0),\qquad \vec{AB}=(-2,2,0) $$

だから，

$$ \vec{OC}\cdot \vec{AB}=0 $$

である。よって $\triangle OAB$ を $OC$ のまわりに回転すると，$L$ は頂点 $O$，軸 $OC$，底面の中心 $C$ をもつ直円すいである。

さらに，

$$ |OC|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2,\qquad |CA|=\sqrt{(2-1)^2+(0-1)^2}=\sqrt2 $$

である。

いま （1） より，$H$ は

$$ H=\left(\frac{x+y}{2},\ \frac{x+y}{2},\ 0\right) $$

であるから，

$$ \vec{OH}=\frac{x+y}{2}(1,1,0) $$

となる。したがって $H$ が線分 $OC$ 上にある条件は

$$ 0\le \frac{x+y}{2}\le 1 $$

すなわち

$$ 0\le x+y\le 2 $$

である。

次に，$H$ における円すいの半径を考える。$H$ が $OC$ 上にあり，しかも

$$ \vec{OH}=\frac{x+y}{2},\vec{OC} $$

であるから，$OH:OC=\dfrac{x+y}{2}:1$ である。円すいの半径は軸方向に比例して増えるので，$H$ における半径 $r$ は

$$ r=\frac{x+y}{2},|CA|=\frac{x+y}{2}\sqrt2 $$

である。

したがって $P$ が $L$ に属するための条件は，

• $H$ が線分 $OC$ 上にあること
• $|HP|\le r$ であること

の二つである。

ここで （1） より，

$$ \begin{aligned} |HP|^2 &= \left(\frac{x-y}{2}\right)^2 + \left(\frac{y-x}{2}\right)^2 + z^2 &= \frac{(x-y)^2}{2}+z^2 \end{aligned} $$

だから，

$$ |HP|^2\le r^2 $$

は

$$ \begin{aligned} \frac{(x-y)^2}{2}+z^2 \le \left(\frac{x+y}{2}\sqrt2\right)^2 &= \frac{(x+y)^2}{2} \end{aligned} $$

と同値である。両辺を $2$ 倍すると，

$$ (x-y)^2+2z^2\le (x+y)^2 $$

すなわち

$$ x^2-2xy+y^2+2z^2\le x^2+2xy+y^2 $$

より，

$$ z^2\le 2xy $$

を得る。

以上より，$P(x,y,z)$ が $L$ の点であるための条件は

$$ z^2\le 2xy,\qquad 0\le x+y\le 2 $$

である。

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(3)

$1\le a\le 2$ のとき，平面 $x=a$ で切った切り口の面積 $S(a)$ を求める。

（2） の結果より，平面 $x=a$ 上では

$$ z^2\le 2ay,\qquad 0\le a+y\le 2 $$

である。

ここで $1\le a\le 2$ であるから $a>0$ であり，$z^2\le 2ay$ より $y\ge 0$ となる。したがって切り口は

$$ 0\le y\le 2-a,\qquad -\sqrt{2ay}\le z\le \sqrt{2ay} $$

で表される。

よって面積は

$$ \begin{aligned} S(a) &= \int_0^{2-a} 2\sqrt{2ay},dy \end{aligned} $$

である。計算すると，

$$ \begin{aligned} S(a) &= 2\sqrt{2a}\int_0^{2-a} y^{1/2},dy \\ 2\sqrt{2a}\left[\frac{2}{3}y^{3/2}\right]_0^{2-a} \end{aligned} $$

より，

$$ S(a)=\frac{4}{3}\sqrt{2a},(2-a)^{3/2} $$

である。

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(4)

${(x,y,z)\mid (x,y,z)\in L,\ 1\le x\le 2}$ の体積を求める。

（3） の断面積を $x=a$ について $1$ から $2$ まで積分すればよいから，体積 $V$ は

$$ \begin{aligned} V=\int_1^2 S(a),da &= \int_1^2 \frac{4}{3}\sqrt{2a},(2-a)^{3/2},da \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ a=1+\cos\theta \qquad \left(0\le \theta\le \frac{\pi}{2}\right) $$

とおくと，

$$ 2-a=1-\cos\theta,\qquad a(2-a)=1-\cos^2\theta=\sin^2\theta,\qquad da=-\sin\theta,d\theta $$

であるから，

$$ V = \frac{4}{3}\int_1^2 (2-a)\sqrt{2a(2-a)},da $$

と書き直して，

$$ V = \frac{4\sqrt2}{3}\int_0^{\pi/2}(1-\cos\theta)\sin^2\theta,d\theta $$

となる。

よって

$$ \begin{aligned} V = \\ \frac{4\sqrt2}{3} \left( \int_0^{\pi/2}\sin^2\theta,d\theta &= \int_0^{\pi/2}\cos\theta,\sin^2\theta,d\theta \right) \end{aligned} $$

である。

ここで，

$$ \int_0^{\pi/2}\sin^2\theta,d\theta=\frac{\pi}{4} $$

また，

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\cos\theta,\sin^2\theta,d\theta &= \left[\frac{1}{3}\sin^3\theta\right]_0^{\pi/2} \\ \frac{1}{3} \end{aligned} $$

だから，

$$ \begin{aligned} V = \\ \frac{4\sqrt2}{3}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{3}\right) \\ \frac{\sqrt2}{9}(3\pi-4) \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の本質は，回転体 $L$ を「軸 $OC$ からの距離」でとらえることである。

特に （2） で

$$ z^2\le 2xy,\qquad 0\le x+y\le 2 $$

という不等式表示に落とせると，（3） 以降は平面 $x=a$ で切った断面をそのまま積分できる。

また，$x=a$ の断面が楕円ではなく，放物線

$$ z^2=2ay $$

と直線

$$ y=2-a $$

に囲まれた図形になることが重要である。

答え

(1)

$$ \vec{OH}=\left(\frac{x+y}{2},\ \frac{x+y}{2},\ 0\right) $$

$$ \vec{HP}=\left(\frac{x-y}{2},\ \frac{y-x}{2},\ z\right) $$

(2)

$$ P(x,y,z)\in L \iff z^2\le 2xy,\quad 0\le x+y\le 2 $$

(3)

$$ S(a)=\frac{4}{3}\sqrt{2a},(2-a)^{3/2} \qquad (1\le a\le 2) $$

(4)

$$ \frac{\sqrt2}{9}(3\pi-4) $$