数学3 体積 問題 101 解説

方針・初手

まず、三角形 $OAB$ を $x$ 軸のまわりに回転してできる円錐 $V$ を式で表す。

そのうえで、$V$ をさらに $y$ 軸のまわりに回転させてできる立体を、$y=t$ で切った断面を考える。$y$ 軸まわりの回転では、平面 $y=t$ 内で図形が原点中心に回転するので、断面積を求めて積分すれば体積が出る。

解法1

三角形 $OAB$ を $x$ 軸のまわりに回転してできる円錐 $V$ は、底面が $x=1$、底面半径が $1$、頂点が $O$ の円錐である。

したがって、$V$ は

$$ 0 \le x \le 1,\qquad y^2+z^2 \le x^2 $$

で表される。

ここで、求める立体を $W$ とする。

平面 $y=t$ で $W$ を切った断面を考える。ただし、もとの円錐 $V$ において $|t|>1$ なら断面は存在しないので、以下 $|t|\le 1$ とする。

円錐 $V$ の平面 $y=t$ による断面は

$$ 0 \le x \le 1,\qquad t^2+z^2 \le x^2 $$

すなわち

$$ |t| \le x \le 1,\qquad z^2 \le x^2-t^2 $$

である。

これは平面 $y=t$ 内の $xz$ 平面で見た図形であり、これを $y$ 軸のまわりに回転させると、同じ平面内では原点中心の回転になる。したがって、断面は円環になる。

内半径

断面内の点 $(x,z)$ の $y$ 軸からの距離は

$$ \sqrt{x^2+z^2} $$

である。

この最小値は $z=0,\ x=|t|$ のときにとられ、

$$ r(t)=|t| $$

となる。

外半径

一方、

$$ x^2+z^2 \le x^2+(x^2-t^2)=2x^2-t^2 \le 2-t^2 $$

より、距離の最大値は $\sqrt{2-t^2}$ 以下である。

実際、$x=1,\ z=\pm\sqrt{1-t^2}$ は断面上の点であり、このとき

$$ x^2+z^2=1+(1-t^2)=2-t^2 $$

となるから、外半径は

$$ R(t)=\sqrt{2-t^2} $$

である。

したがって、平面 $y=t$ による断面積 $S(t)$ は

$$ S(t)=\pi\bigl(R(t)^2-r(t)^2\bigr) =\pi\bigl((2-t^2)-t^2\bigr) =2\pi(1-t^2) $$

となる。

よって体積は

$$ \int_{-1}^{1} 2\pi(1-t^2),dt =2\pi\left[t-\frac{t^3}{3}\right]_{-1}^{1} =2\pi\left(\frac{2}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)\right) =\frac{8\pi}{3} $$

である。

解説

この問題の要点は、二度目の回転をそのまま三次元で追いかけるのではなく、平面 $y=t$ で切って考えることである。

平面 $y=t$ は $y$ 軸まわりの回転で保たれるので、その断面図形が平面内で原点中心に回転するとみなせる。すると、断面は「内半径 $|t|$、外半径 $\sqrt{2-t^2}$ の円環」となり、断面積を積分するだけで体積が求まる。

答え

$$ \frac{8\pi}{3} $$