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数学3 体積問題 102 解説

方針・初手

高さ $y=t$ で水平に切ると，回転体 $L$ の切り口は $xz$ 平面内の円

$$ x^2+z^2=t $$

の内部になる。

また，点 $(x,y,z)$ から $xy$ 平面上の直線 $x=1$ への距離は

$$ \sqrt{(x-1)^2+z^2} $$

であるから，条件「距離が $1$ 以下」は

$$ (x-1)^2+z^2\leqq 1 $$

で表される。したがって，$y=t$ における $M$ の切り口は，$xz$ 平面内の 2 つの円

$$ x^2+z^2=t,\qquad (x-1)^2+z^2=1 $$

で共通に囲まれる部分である。これを扇形と三角形に分けて面積 $S(t)$ を求め，最後に $t$ について積分して体積を出す。

解法1

(1)

$y=t$ における 2 円の交点を $P,Q$ とする。交点は

$$ x^2+z^2=t,\qquad (x-1)^2+z^2=1 $$

を満たすから，両式の差をとると

$$ x=\frac{t}{2} $$

である。ここで

$$ t=(2\cos\theta)^2,\qquad \frac{\pi}{4}\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{2} $$

とおくと，

$$ x=\frac{t}{2}=2\cos^2\theta $$

となる。さらに

$$ z^2=t-x^2 =4\cos^2\theta-4\cos^4\theta =4\cos^2\theta\sin^2\theta =\sin^22\theta $$

より，

$$ P,Q=\left(2\cos^2\theta,\ \pm\sin2\theta\right) $$

である。

原点を $O=(0,0)$，もう一方の円の中心を $A=(1,0)$ とする。

まず，円 $x^2+z^2=t$ の半径は $2\cos\theta$ である。交点 $P,Q$ に対して

$$ \cos\angle POX=\frac{2\cos^2\theta}{2\cos\theta}=\cos\theta $$

より，$\angle POX=\theta$ であるから，

$$ \angle POQ=2\theta $$

となる。したがって，円 $x^2+z^2=t$ 側の共通部分の面積は

$$ \frac12(2\cos\theta)^2\cdot 2\theta-\frac12(2\cos\theta)^2\sin2\theta =4\theta\cos^2\theta-2\cos^2\theta\sin2\theta $$

である。

次に，円 $(x-1)^2+z^2=1$ について考える。 $A$ から見た交点ベクトルは

$$ \overrightarrow{AP}=(\cos2\theta,\ \sin2\theta),\qquad \overrightarrow{AQ}=(\cos2\theta,\ -\sin2\theta) $$

であるから，共通部分に対応する中心角は

$$ 2\pi-4\theta $$

である。よって，この円側の共通部分の面積は

$$ \frac12(2\pi-4\theta)-\frac12\sin(2\pi-4\theta) $$

すなわち

$$ \pi-2\theta+\frac12\sin4\theta $$

である。

以上より，

$$ \begin{aligned} S(t) &=4\theta\cos^2\theta-2\cos^2\theta\sin2\theta+\pi-2\theta+\frac12\sin4\theta \\ &=\pi+2\theta\cos2\theta-\sin2\theta \end{aligned} $$

となる。

したがって，

$$ S(t)=\pi+2\theta\cos2\theta-\sin2\theta $$

である。

(2)

体積 $V$ は

$$ V=\int_0^2 S(t),dt $$

である。ここで

$$ t=4\cos^2\theta $$

とおくと，

$$ dt=-4\sin2\theta,d\theta $$

であり，$t=2$ のとき $\theta=\dfrac{\pi}{4}$，$t=0$ のとき $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ であるから，

$$ \begin{aligned} V &=\int_0^2 S(t),dt \\ &=4\int_{\pi/4}^{\pi/2}S(t)\sin2\theta,d\theta \\ &=4\int_{\pi/4}^{\pi/2}\left(\pi+2\theta\cos2\theta-\sin2\theta\right)\sin2\theta,d\theta \\ &=4\int_{\pi/4}^{\pi/2}\left(\pi\sin2\theta+\theta\sin4\theta-\sin^22\theta\right)d\theta \end{aligned} $$

となる。

それぞれ計算すると，

$$ \int_{\pi/4}^{\pi/2}\pi\sin2\theta,d\theta =\frac{\pi}{2}, $$

$$ \int_{\pi/4}^{\pi/2}\theta\sin4\theta,d\theta =\left[-\frac{\theta\cos4\theta}{4}+\frac{\sin4\theta}{16}\right]_{\pi/4}^{\pi/2} =-\frac{3\pi}{16}, $$

$$ \int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin^22\theta,d\theta =\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{1-\cos4\theta}{2},d\theta =\left[\frac{\theta}{2}-\frac{\sin4\theta}{8}\right]_{\pi/4}^{\pi/2} =\frac{\pi}{8} $$

である。よって，

$$ V=4\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{16}-\frac{\pi}{8}\right) =4\cdot\frac{3\pi}{16} =\frac{3\pi}{4} $$

となる。