数学3 定積分・面積 問題 3 解説

方針・初手

曲線 $y = \sin x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求め、それが曲線 $y = k \sin \frac{x}{2}$ によってどのように分割されるかを考える。 2つの曲線の交点の $x$ 座標を文字でおき、面積の積分計算を実行して $k$ についての方程式を導く。

解法1

曲線 $y = \sin x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$ と $x$ 軸とで囲まれる部分の面積を $S$ とすると、

$$S = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = \left[ -\cos x \right]_{0}^{\pi} = -(-1) - (-1) = 2$$

曲線 $y = \sin x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$ と $x$ 軸とで囲まれる領域を、曲線 $y = k \sin \frac{x}{2}$ が2等分するためには、これら2つの曲線が区間 $0 < x < \pi$ で交点を持つ必要がある。

方程式 $\sin x = k \sin \frac{x}{2}$ を解く。 倍角の公式より $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ であるから、

$$2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - k \sin \frac{x}{2} = 0$$

$$\sin \frac{x}{2} \left( 2 \cos \frac{x}{2} - k \right) = 0$$

$0 < x < \pi$ において $\sin \frac{x}{2} > 0$ であるから、交点を持つための条件は $2 \cos \frac{x}{2} - k = 0$ すなわち $\cos \frac{x}{2} = \frac{k}{2}$ が $0 < x < \pi$ で解を持つことである。 $0 < x < \pi$ のとき $0 < \cos \frac{x}{2} < 1$ であるため、$k$ が満たすべき条件は、

$$0 < \frac{k}{2} < 1 \iff 0 < k < 2$$

このとき、交点の $x$ 座標を $\alpha \ (0 < \alpha < \pi)$ とおくと、

$$\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{k}{2}$$

が成り立つ。

区間 $0 \leqq x \leqq \alpha$ では $2 \cos \frac{x}{2} \geqq k$ より $\sin x \geqq k \sin \frac{x}{2}$ であり、区間 $\alpha \leqq x \leqq \pi$ では $2 \cos \frac{x}{2} \leqq k$ より $\sin x \leqq k \sin \frac{x}{2}$ となる。 したがって、曲線 $y = \sin x$ と $x$ 軸とで囲まれる図形のうち、$y = k \sin \frac{x}{2}$ の上側にある部分の面積 $S_1$ は、

$$\begin{aligned} S_1 &= \int_{0}^{\alpha} \left( \sin x - k \sin \frac{x}{2} \right) \, dx \\ &= \left[ -\cos x + 2k \cos \frac{x}{2} \right]_{0}^{\alpha} \\ &= \left( -\cos \alpha + 2k \cos \frac{\alpha}{2} \right) - \left( -1 + 2k \right) \\ &= -\cos \alpha + 2k \cos \frac{\alpha}{2} + 1 - 2k \end{aligned}$$

ここで、倍角の公式 $\cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 1$ と $\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{k}{2}$ を用いると、

$$\cos \alpha = 2 \left( \frac{k}{2} \right)^2 - 1 = \frac{k^2}{2} - 1$$

これを $S_1$ の式に代入する。

$$\begin{aligned} S_1 &= -\left( \frac{k^2}{2} - 1 \right) + 2k \left( \frac{k}{2} \right) + 1 - 2k \\ &= -\frac{k^2}{2} + 1 + k^2 + 1 - 2k \\ &= \frac{k^2}{2} - 2k + 2 \end{aligned}$$

題意より、面積が2等分されるので $S_1 = \frac{S}{2} = 1$ が成り立つ。

$$\frac{k^2}{2} - 2k + 2 = 1$$

$$k^2 - 4k + 2 = 0$$

これを解いて、

$$k = 2 \pm \sqrt{2}$$

条件 $0 < k < 2$ より、$k = 2 - \sqrt{2}$ である。

解説

2つの曲線の交点を文字でおき、面積の積分計算を実行した後で交点の条件（今回は $\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{k}{2}$）を用いて式を整理する典型的な問題である。 最初から $k$ の値を求めようとするのではなく、交点を $\alpha$ とおいて面積を立式することがポイントである。 また、図形の上下関係が $x = \alpha$ で入れ替わることを正確に把握しないと、積分区間や被積分関数を誤るため注意が必要である。面積を半分にする際、上側と下側のどちらの面積を計算する方が計算量が少なくなるかを見極めることも重要である。

答え

$k = 2 - \sqrt{2}$