数学3 定積分・面積 問題 5 解説

方針・初手

被積分関数の中に $\log x$ と、その導関数である $\frac{1}{x}$ が含まれていることに着目し、置換積分法を用いる。 (1) は基本的な置換積分、(2) は置換積分を行った後に部分積分法を適用することで解決する。

解法1

(1)

$t = \log x$ とおくと、両辺を $x$ で微分して

$$dt = \frac{1}{x} dx$$

となる。これを用いて置換積分を行う。$\alpha \neq -1$ であるから

$$\begin{aligned} \int \frac{(\log x)^\alpha}{x} dx &= \int t^\alpha dt \\ &= \frac{t^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C \quad (C \text{ は積分定数}) \end{aligned}$$

$t = \log x$ を代入して元に戻すと

$$\int \frac{(\log x)^\alpha}{x} dx = \frac{(\log x)^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C$$

(2)

(1) と同様に $t = \log x$ とおくと、$dt = \frac{1}{x} dx$ であるから

$$\int \frac{(\log x)^\alpha}{x} \log(\log x) dx = \int t^\alpha \log t dt$$

ここで、部分積分法を用いる。$\alpha \neq -1$ より

$$\begin{aligned} \int t^\alpha \log t dt &= \int \left( \frac{t^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} \right)' \log t dt \\ &= \frac{t^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} \log t - \int \frac{t^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} \cdot \frac{1}{t} dt \\ &= \frac{t^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} \log t - \frac{1}{\alpha + 1} \int t^\alpha dt \\ &= \frac{t^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} \log t - \frac{1}{(\alpha + 1)^2} t^{\alpha + 1} + C \quad (C \text{ は積分定数}) \\ &= \frac{t^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} \left( \log t - \frac{1}{\alpha + 1} \right) + C \end{aligned}$$

$t = \log x$ を代入して元に戻すと

$$\int \frac{(\log x)^\alpha}{x} \log(\log x) dx = \frac{(\log x)^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} \left( \log(\log x) - \frac{1}{\alpha + 1} \right) + C$$

解説

被積分関数に $f(x)$ と $f'(x)$ の積が含まれている場合、$t = f(x)$ とおく置換積分が非常に有効である。本問では $\log x$ とその微分である $\frac{1}{x}$ の組み合わせがそれにあたる。

(2) は置換積分後に $\int t^\alpha \log t dt$ の形になる。これは累乗関数と対数関数の積の積分であるため、対数関数を微分側に回す部分積分法が定石となる処理である。

答え

(1)

$$\frac{(\log x)^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C \quad (C \text{ は積分定数})$$

(2)

$$\frac{(\log x)^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} \left( \log(\log x) - \frac{1}{\alpha + 1} \right) + C \quad (C \text{ は積分定数})$$