数学3 定積分・面積 問題 7 解説

方針・初手

被積分関数において、分母の根号の中にある関数 $4-3x^2$ を微分すると $-6x$ となり、分子の $x$ の定数倍になることに着目する。このことから、$t=4-3x^2$ とおく置換積分法、あるいは合成関数の微分の逆演算を利用して定積分を求めることができる。

解法1

$t = 4-3x^2$ とおくと、両辺を $x$ で微分して

$$\frac{dt}{dx} = -6x$$

より、$x dx = -\frac{1}{6} dt$ となる。 $x$ と $t$ の積分区間の対応は以下のようになる。

$x : 0 \to 1$ のとき $t : 4 \to 1$

したがって、与えられた定積分は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{4-3x^2}} dx &= \int_4^1 \frac{1}{\sqrt{t}} \left( -\frac{1}{6} \right) dt \\ &= \frac{1}{6} \int_1^4 t^{-\frac{1}{2}} dt \\ &= \frac{1}{6} \left[ 2t^{\frac{1}{2}} \right]_1^4 \\ &= \frac{1}{3} \left( \sqrt{4} - \sqrt{1} \right) \\ &= \frac{1}{3} (2 - 1) \\ &= \frac{1}{3} \end{aligned}$$

解法2

合成関数の微分の公式 $\left( \sqrt{f(x)} \right)' = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ を逆用して、直接原始関数を見つける。

被積分関数は次のように変形できる。

$$\frac{x}{\sqrt{4-3x^2}} = -\frac{1}{6} \cdot \frac{-6x}{\sqrt{4-3x^2}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{(4-3x^2)'}{2\sqrt{4-3x^2}}$$

したがって、求める定積分は以下のように計算できる。

$$\begin{aligned} \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{4-3x^2}} dx &= \left[ -\frac{1}{3} \sqrt{4-3x^2} \right]_0^1 \\ &= -\frac{1}{3} \sqrt{4-3 \cdot 1^2} - \left( -\frac{1}{3} \sqrt{4-3 \cdot 0^2} \right) \\ &= -\frac{1}{3} \sqrt{1} + \frac{1}{3} \sqrt{4} \\ &= -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \\ &= \frac{1}{3} \end{aligned}$$

解説

被積分関数が $f(g(x))g'(x)$ の形（微分形接触型）をしていることに気づけるかどうかがポイントである。本問のように根号を含む分数関数の場合、根号の中身の導関数が分子に定数倍の違いで現れているときは、根号の中身全体を別の文字で置換することで容易に計算できる。積分計算に慣れている場合は、解法2のように置換を明記せずに合成関数の微分の逆演算として処理すると、記述量を減らすことができる。

答え

$$\frac{1}{3}$$