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数学3 定積分・面積問題 8 解説

方針・初手

被積分関数に絶対値が含まれているため、積分区間 $-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ における絶対値記号の中身の正負を調べ、区間を分けて絶対値を外すことから始める。三角関数の種類を正弦（$\sin x$）に統一することで、符号の判定が容易になる。

解法1

絶対値記号の中身の関数を $f(x)$ とおく。

$$f(x) = 2\cos^2 x + 3\sin x$$

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を代入して整理する。

$$\begin{aligned} f(x) &= 2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x \\ &= -2\sin^2 x + 3\sin x + 2 \\ &= -(2\sin x + 1)(\sin x - 2) \end{aligned}$$

積分区間 $-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ において、$-1 \leqq \sin x \leqq 1$ であるから、常に $\sin x - 2 < 0$ が成り立つ。したがって、$f(x)$ の符号は $2\sin x + 1$ の符号と一致する。

$2\sin x + 1 \geqq 0$ すなわち $\sin x \geqq -\frac{1}{2}$ となるのは、$-\frac{\pi}{6} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ のときである。 $2\sin x + 1 \leqq 0$ すなわち $\sin x \leqq -\frac{1}{2}$ となるのは、$-\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq -\frac{\pi}{6}$ のときである。

ゆえに、積分区間を分けて絶対値を外すと、求める定積分 $I$ は次のようになる。

$$\begin{aligned} I &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} |f(x)| dx \\ &= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{6}} \{-f(x)\} dx + \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) dx \end{aligned}$$

ここで、$f(x)$ の不定積分を計算しておく。半角の公式 $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ を用いる。

$$\begin{aligned} \int f(x) dx &= \int (2\cos^2 x + 3\sin x) dx \\ &= \int \left\{ 2 \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} + 3\sin x \right\} dx \\ &= \int (1 + \cos 2x + 3\sin x) dx \\ &= x + \frac{1}{2}\sin 2x - 3\cos x + C \quad (C \text{は積分定数}) \end{aligned}$$

$F(x) = x + \frac{1}{2}\sin 2x - 3\cos x$ とおくと、定積分 $I$ は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} I &= -[F(x)]_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{6}} + [F(x)]_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= -\left\{ F\left(-\frac{\pi}{6}\right) - F\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right\} + \left\{ F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F\left(-\frac{\pi}{6}\right) \right\} \\ &= -2F\left(-\frac{\pi}{6}\right) + F\left(-\frac{\pi}{2}\right) + F\left(\frac{\pi}{2}\right) \end{aligned}$$

それぞれの関数の値を求める。

$$\begin{aligned} F\left(-\frac{\pi}{6}\right) &= -\frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) - 3\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) \\ &= -\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{2} \\ &= -\frac{\pi}{6} - \frac{7\sqrt{3}}{4} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} F\left(-\frac{\pi}{2}\right) &= -\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(-\pi) - 3\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) \\ &= -\frac{\pi}{2} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} F\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(\pi) - 3\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \\ &= \frac{\pi}{2} \end{aligned}$$

これらを $I$ の式に代入する。

$$\begin{aligned} I &= -2 \left( -\frac{\pi}{6} - \frac{7\sqrt{3}}{4} \right) + \left( -\frac{\pi}{2} \right) + \frac{\pi}{2} \\ &= \frac{\pi}{3} + \frac{7\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$$

解説

絶対値を含む定積分の典型問題である。被積分関数の符号が変化する点を正確に求め、積分区間を分割できるかが問われている。 $\cos^2 x$ を $1 - \sin^2 x$ に置き換えて因数分解し、正負を判定する手順は、三角関数の最大・最小問題や方程式・不等式でも頻出の処理である。また、定積分の計算において $F(x)$ とおいてから代入計算をまとめることで、計算ミスを防ぎやすくなる。特に、複数回同じ値を代入する場合はこの手法が有効である。