数学3 定積分・面積 問題 9 解説

方針・初手

被積分関数に $(x^2+1)^{\frac{3}{2}}$ という $x^2+a^2$ の形が含まれているため、$x = \tan\theta$ とおく置換積分を考えるのが定石である。本問では積分区間の上限に対応する角度が有名角にならないが、直角三角形や三角比の相互関係を用いることで定積分を計算できる。

また、分母から $x^3$ をくくり出すことで微分の形を作り出す工夫した置換積分も有効である。

解法1

$x = \tan\theta \left(-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}\right)$ とおくと、

$$dx = \frac{1}{\cos^2\theta} d\theta$$

である。積分区間 $x : 1 \to 2$ に対応する $\theta$ の範囲を考える。 $x=1$ のとき $\theta = \frac{\pi}{4}$ である。 $x=2$ のときの $\theta$ の値を $\alpha$ とすると、$\tan\alpha = 2$ であり、積分区間は $\theta : \frac{\pi}{4} \to \alpha$ となる。 このとき、$\frac{\pi}{4} \le \theta \le \alpha < \frac{\pi}{2}$ であるため、$\cos\theta > 0$ である。

被積分関数は次のように変形できる。

$$(x^2+1)\sqrt{x^2+1} = (\tan^2\theta+1)\sqrt{\tan^2\theta+1} = \frac{1}{\cos^2\theta} \cdot \frac{1}{|\cos\theta|} = \frac{1}{\cos^3\theta}$$

これを用いて定積分を計算する。

$$\int_1^2 \frac{dx}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}} = \int_{\frac{\pi}{4}}^\alpha \cos^3\theta \cdot \frac{1}{\cos^2\theta} d\theta$$

$$= \int_{\frac{\pi}{4}}^\alpha \cos\theta d\theta$$

$$= \left[ \sin\theta \right]_{\frac{\pi}{4}}^\alpha$$

$$= \sin\alpha - \sin\frac{\pi}{4}$$

ここで、$\tan\alpha = 2 \left(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\right)$ より、直角を挟む2辺の長さが $1$ と $2$ である直角三角形を考えると、斜辺の長さは $\sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}$ であるから、

$$\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$

と求まる。 （または、相互関係 $1+\tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ から $\cos^2\alpha = \frac{1}{5}$ とし、$\sin\alpha = \tan\alpha\cos\alpha$ から求めてもよい。）

したがって、求める定積分の値は、

$$\frac{2\sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{2}}{2}$$

となる。

解法2

被積分関数の分母から $x^3$ をくくり出す変形を行う。$x > 0$ において、

$$\frac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right) \cdot x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \frac{1}{x^3\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{\frac{3}{2}}}$$

となる。ここで、$1+\frac{1}{x^2} = t$ とおくと、両辺を $x$ で微分して、

$$-\frac{2}{x^3} dx = dt$$

すなわち、

$$\frac{dx}{x^3} = -\frac{1}{2} dt$$

となる。積分区間について、$x : 1 \to 2$ のとき、$t : 2 \to \frac{5}{4}$ となる。 これを用いて定積分を計算する。

$$\int_1^2 \frac{1}{x^3\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{\frac{3}{2}}} dx = \int_2^{\frac{5}{4}} \frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} \left(-\frac{1}{2}\right) dt$$

$$= -\frac{1}{2} \int_2^{\frac{5}{4}} t^{-\frac{3}{2}} dt$$

$$= -\frac{1}{2} \left[ -2t^{-\frac{1}{2}} \right]_2^{\frac{5}{4}}$$

$$= \left[ \frac{1}{\sqrt{t}} \right]_2^{\frac{5}{4}}$$

$$= \frac{1}{\sqrt{\frac{5}{4}}} - \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$= \frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$$= \frac{2\sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{2}}{2}$$

解説

$a^2+x^2$ を含む無理式の積分において、$x = a\tan\theta$ とおく置換積分は非常に典型的な手法である。積分区間の端点が有名角にならない場合でも、$\alpha$ などの文字でおいて積分計算を進め、最後に図形的考察や三角比の相互関係を用いて具体的な値を求めるという流れは、難関大で頻出の処理であるため確実に押さえておきたい。

また、解法2で示したような「分母の最高次数の項をくくり出し、$1+\frac{1}{x^2} = t$ のような置換に持ち込む」手法は、計算量が大きく削減される場合が多い鮮やかな解法である。気づくのは難しいが、経験として知っておくと強力な武器になる。

答え

$\frac{2\sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{2}}{2}$