数学3 定積分・面積 問題 10 解説

方針・初手

2倍角の公式 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ を用いて被積分関数を変形し、$\int \{f(x)\}^n f'(x) dx$ の形を作り出すのが最も簡明である。

解法1

積分定数を $C$ とする。

2倍角の公式より $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ であるから、与えられた不定積分は次のように変形できる。

$$\int \sin^4 x \sin 2x dx = \int \sin^4 x (2\sin x \cos x) dx$$

$$= 2 \int \sin^5 x \cos x dx$$

ここで、$(\sin x)' = \cos x$ であることに着目すると、次のように積分を実行できる。

$$2 \int \sin^5 x (\sin x)' dx = 2 \cdot \frac{1}{6} \sin^6 x + C$$

$$= \frac{1}{3} \sin^6 x + C$$

解法2

半角の公式および2倍角の公式を用いて、被積分関数の次数を下げてから積分する。積分定数を $C$ とする。

$$\sin^4 x = \left( \frac{1-\cos 2x}{2} \right)^2 = \frac{1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x}{4}$$

これに $\sin 2x$ を掛けると、

$$\sin^4 x \sin 2x = \frac{1}{4} (1 - 2\cos 2x + \cos^2 2x) \sin 2x$$

$$= \frac{1}{4} \sin 2x - \frac{1}{2} \sin 2x \cos 2x + \frac{1}{4} \cos^2 2x \sin 2x$$

2倍角の公式 $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$ より、第2項は $-\frac{1}{4} \sin 4x$ となる。 また、第3項について、$(\cos 2x)' = -2\sin 2x$ であることを用いる。

これらを積分すると、

$$\int \sin^4 x \sin 2x dx = \int \left( \frac{1}{4} \sin 2x - \frac{1}{4} \sin 4x + \frac{1}{4} \cos^2 2x \sin 2x \right) dx$$

$$= \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right) - \frac{1}{4} \left( -\frac{1}{4} \cos 4x \right) + \frac{1}{4} \int \cos^2 2x \left( -\frac{1}{2} (\cos 2x)' \right) dx$$

$$= -\frac{1}{8} \cos 2x + \frac{1}{16} \cos 4x - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{3} \cos^3 2x + C$$

$$= -\frac{1}{8} \cos 2x + \frac{1}{16} \cos 4x - \frac{1}{24} \cos^3 2x + C$$

解説

三角関数の積分において、$\sin x$ と $\cos x$ の積の形を作ることは基本方針の1つである。本問のように、一方が奇数乗（本問では $\cos x$ が1乗）の形になれば、$t = \sin x$ と置換する（あるいは微分形接触としてそのまま積分する）ことで容易に計算できる。

解法2のように次数下げの公式（半角の公式や倍角の公式）を用いて $\sin ax$ や $\cos bx$ の一次式の和に直す方針も、三角関数の積分における強力な定石である。結果の見た目は解法1と異なるが、三角関数の公式を用いて変形すれば定数項の違いを除いて一致する（不定積分であるため、積分定数の違いとして吸収される）。本問においては計算量から解法1が推奨される。

答え

$$\frac{1}{3} \sin^6 x + C \quad (C\text{は積分定数})$$