数学3 定積分・面積 問題 11 解説

方針・初手

被積分関数が分数関数で、分母が $\cos x$ のみの形である。このような三角関数の積分では、分母・分子に $\cos x$ を掛けて分母を $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ に変形し、分子に $\cos x$ を作り出す方針が定石である。これにより、$t = \sin x$ と置換積分することが可能になる。

解法1

求める不定積分を $I$ とおく。分母と分子に $\cos x$ を掛けると、

$$I = \int \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{\cos x}{1 - \sin^2 x} dx$$

ここで、$\sin x = t$ とおくと、$\frac{dt}{dx} = \cos x$ より $\cos x dx = dt$ であるから、

$$I = \int \frac{1}{1 - t^2} dt$$

被積分関数を部分分数分解すると、

$$\frac{1}{1 - t^2} = \frac{1}{(1 - t)(1 + t)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 + t} + \frac{1}{1 - t} \right)$$

となるので、これを用いて積分を計算する（$C$ は積分定数とする）。

$$\begin{aligned} I &= \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{1 + t} + \frac{1}{1 - t} \right) dt \\ &= \frac{1}{2} \left( \log|1 + t| - \log|1 - t| \right) + C \\ &= \frac{1}{2} \log \left| \frac{1 + t}{1 - t} \right| + C \end{aligned}$$

$t = \sin x$ を代入して元の変数に戻すと、以下の結果を得る。

$$I = \frac{1}{2} \log \left| \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \right| + C$$

解法2

$t = \tan \frac{x}{2}$ とおく置換積分法を利用する。 このとき、$\cos x$ および $dx$ は $t$ を用いて次のように表される。

$$\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad dx = \frac{2}{1 + t^2} dt$$

これらを与式に代入すると、

$$\begin{aligned} \int \frac{1}{\cos x} dx &= \int \frac{1 + t^2}{1 - t^2} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt \\ &= \int \frac{2}{1 - t^2} dt \\ &= \int \left( \frac{1}{1 + t} + \frac{1}{1 - t} \right) dt \\ &= \log|1 + t| - \log|1 - t| + C \\ &= \log \left| \frac{1 + t}{1 - t} \right| + C \quad (C \text{ は積分定数}) \end{aligned}$$

$t = \tan \frac{x}{2}$ を元の変数に戻して、以下の結果を得る。

$$\int \frac{1}{\cos x} dx = \log \left| \frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}} \right| + C$$

解説

$\int \frac{1}{\cos x} dx$ や $\int \frac{1}{\sin x} dx$ の不定積分は、大学入試において非常に頻出である。その都度計算できることが望ましいが、計算量が比較的少なく汎用性が高い「解法1」の手法は必ず身につけておくべき基本事項である。

また、解法1で得られた答えは、さらなる変形を施して表現されることも多い。分母分子に $1 + \sin x$ を掛けると、

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \log \left| \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \right| &= \frac{1}{2} \log \left| \frac{(1 + \sin x)^2}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} \right| \\ &= \frac{1}{2} \log \left| \frac{(1 + \sin x)^2}{1 - \sin^2 x} \right| \\ &= \frac{1}{2} \log \left| \frac{(1 + \sin x)^2}{\cos^2 x} \right| \\ &= \log \left| \frac{1 + \sin x}{\cos x} \right| \end{aligned}$$

となり、$\log \left| \frac{1}{\cos x} + \tan x \right| + C$ と表記されることもある。マークシート形式の試験などではこちらの形が選択肢となることも考えられるため、対数の性質を用いたこの変形も理解しておきたい。

答え

$$\frac{1}{2} \log \left| \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \right| + C \quad (C \text{ は積分定数})$$