数学3 定積分・面積 問題 13 解説

方針・初手

被積分関数に $(x^2+a^2)$ の形が含まれているため、$x = a \tan \theta$ とおく置換積分が有効である。 ただし、与式には定数 $a$ が含まれており、$a=0$ の場合と $a \neq 0$ の場合で関数の形が大きく異なるため、場合分けを行う必要がある。 また、$a \neq 0$ の場合は、部分積分を利用して等式を作り、目的の積分を直接導く技巧的な解法も存在する。

解法1

(i) $a \neq 0$ のとき

$x = |a| \tan \theta \quad \left(-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}\right)$ とおく。 このとき、$dx = \frac{|a|}{\cos^2 \theta} d\theta$ であり、$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲において $\cos \theta > 0$ である。 被積分関数は次のように変形できる。

$$(x^2 + a^2)^{-\frac{3}{2}} = (|a|^2 \tan^2 \theta + a^2)^{-\frac{3}{2}} = \left(a^2(1 + \tan^2 \theta)\right)^{-\frac{3}{2}}$$

$$= \left(\frac{a^2}{\cos^2 \theta}\right)^{-\frac{3}{2}} = \left(\frac{|a|}{\cos \theta}\right)^{-3} = \frac{\cos^3 \theta}{|a|^3}$$

したがって、求める不定積分は以下のようになる。

$$\int (x^2 + a^2)^{-\frac{3}{2}} dx = \int \frac{\cos^3 \theta}{|a|^3} \cdot \frac{|a|}{\cos^2 \theta} d\theta$$

$$= \int \frac{\cos \theta}{a^2} d\theta = \frac{1}{a^2} \sin \theta + C \quad (C \text{ は積分定数})$$

ここで、$x = |a| \tan \theta$ より $\tan \theta = \frac{x}{|a|}$ であるから、

$$\sin \theta = \cos \theta \cdot \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}} \cdot \tan \theta$$

$$= \frac{\frac{x}{|a|}}{\sqrt{1 + \left(\frac{x}{|a|}\right)^2}} = \frac{\frac{x}{|a|}}{\frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{|a|}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}}$$

ゆえに、

$$\int (x^2 + a^2)^{-\frac{3}{2}} dx = \frac{x}{a^2 \sqrt{x^2 + a^2}} + C$$

(ii) $a = 0$ のとき

被積分関数は $(x^2)^{-\frac{3}{2}} = |x|^{-3}$ となる。（定義域は $x \neq 0$） 積分区間が $x > 0$ または $x < 0$ のいずれかに含まれるとして考える。

$x > 0$ のとき

$$\int x^{-3} dx = -\frac{1}{2x^2} + C$$

$x < 0$ のとき

$$\int (-x)^{-3} dx = \int -x^{-3} dx = \frac{1}{2x^2} + C$$

これらはまとめて $-\frac{x}{2|x|^3} + C$ と表すこともできる。

解法2

$a \neq 0$ の場合について、部分積分を用いた別解を示す。 $J = \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx$ とおき、これを部分積分する。

$$J = \int 1 \cdot (x^2 + a^2)^{-\frac{1}{2}} dx$$

$$= x(x^2 + a^2)^{-\frac{1}{2}} - \int x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(x^2 + a^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2x dx$$

$$= \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} + \int \frac{x^2}{(x^2 + a^2)^{\frac{3}{2}}} dx$$

ここで、右辺の積分の分子を $x^2 = (x^2 + a^2) - a^2$ と変形する。

$$J = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} + \int \frac{(x^2 + a^2) - a^2}{(x^2 + a^2)^{\frac{3}{2}}} dx$$

$$= \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} + \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dx - a^2 \int \frac{1}{(x^2 + a^2)^{\frac{3}{2}}} dx$$

$$= \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} + J - a^2 \int (x^2 + a^2)^{-\frac{3}{2}} dx$$

両辺から $J$ を引いて整理すると、

$$0 = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} - a^2 \int (x^2 + a^2)^{-\frac{3}{2}} dx$$

$$a^2 \int (x^2 + a^2)^{-\frac{3}{2}} dx = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}}$$

$a \neq 0$ より両辺を $a^2$ で割り、積分定数 $C$ を付加すると、

$$\int (x^2 + a^2)^{-\frac{3}{2}} dx = \frac{x}{a^2 \sqrt{x^2 + a^2}} + C$$

解説

$(x^2+a^2)$ の累乗を被積分関数に含む場合、$x = a \tan \theta$ の置換を行うのが最も基本的な定石である。この際、無用な場合分けや符号のミスを防ぐために、$x = |a| \tan \theta$ と置く工夫をすると計算が安全になる。 また、解法2で示したような「部分積分を用いて自らを別の形で表し、目的の積分を方程式として解く」手法は、$\int e^x \sin x dx$ のような周期的な積分計算や、$\int \frac{1}{(x^2+a^2)^n} dx$ の漸化式を導出する際にも用いられる重要な考え方である。

答え

$C$ を積分定数とする。

$a \neq 0$ のとき

$$\frac{x}{a^2 \sqrt{x^2 + a^2}} + C$$

$a = 0$ のとき

$$\begin{cases} -\frac{1}{2x^2} + C & (x > 0) \\ \frac{1}{2x^2} + C & (x < 0) \end{cases}$$