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数学3 定積分・面積問題 14 解説

方針・初手

無限級数の和を求めるために、まず第 $n$ 項までの部分和 $S_n(x)$ を計算し、$n \to \infty$ の極限を考える。対数の和は真数の積に変換できる性質を利用する。真数の積に現れる $(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^{2^n})$ は、両辺に $(1-x)$ を掛けることで差の平方の公式が連鎖し、簡単な式に帰着できる有名な形である。

解法1

(1)

与えられた無限級数の第 $n$ 項（$n \ge 0$）までの部分和を $S_n(x)$ とする。

$$\begin{aligned} S_n(x) &= \sum_{k=0}^{n} \log(1+x^{2^k}) \\ &= \log \left\{ (1+x)(1+x^2)(1+x^4) \cdots (1+x^{2^n}) \right\} \end{aligned}$$

対数の真数条件より、すべての非負整数 $k$ について $1+x^{2^k} > 0$ である必要がある。$k=0$ のとき $1+x > 0$ より $x > -1$ が必要である（$x > -1$ であれば $k \ge 1$ のときも $1+x^{2^k} \ge 1 > 0$ となり真数条件を満たす）。

ここで、真数の積を $P_n(x) = (1+x)(1+x^2) \cdots (1+x^{2^n})$ とおく。 $x=1$ のとき、

$$P_n(1) = 2^{n+1}$$

となり、$S_n(1) = \log 2^{n+1} = (n+1) \log 2$ である。$n \to \infty$ のとき $S_n(1) \to \infty$ となるため、無限級数は発散する。

$x \neq 1$ のとき、$P_n(x)$ の両辺に $1-x$ を掛けると、

$$\begin{aligned} (1-x) P_n(x) &= (1-x)(1+x)(1+x^2) \cdots (1+x^{2^n}) \\ &= (1-x^2)(1+x^2) \cdots (1+x^{2^n}) \\ &= 1 - x^{2^{n+1}} \end{aligned}$$

となる。よって、$P_n(x) = \frac{1 - x^{2^{n+1}}}{1-x}$ であり、部分和は次のように表される。

$$S_n(x) = \log \frac{1 - x^{2^{n+1}}}{1-x}$$

無限級数が収束するためには、$n \to \infty$ のときに $P_n(x)$ が正の有限確定値に収束する必要がある。$n \to \infty$ のとき $2^{n+1} \to \infty$ であるため、$x^{2^{n+1}}$ の極限は以下のようになる。

$-1 < x < 1$ のとき、$x^{2^{n+1}} \to 0$
$x > 1$ のとき、$x^{2^{n+1}} \to \infty$

したがって、$P_n(x)$ が有限確定値に収束するのは $-1 < x < 1$ のときのみであり、その極限は $\frac{1}{1-x}$ である（これは正の値であるため対数をとることができる）。このとき、$n \to \infty$ で $S_n(x) \to \log \frac{1}{1-x} = -\log(1-x)$ となる。

以上より、この無限級数が収束する $x$ の範囲は $-1 < x < 1$ であり、その和は $f(x) = -\log(1-x)$ である。

(2)

(1) の結果より、定義域 $-1 < x < 1$ において関数は $y = -\log(1-x)$ となる。導関数および第2次導関数を求めると、

$$y' = \frac{1}{1-x}$$

$$y'' = \frac{1}{(1-x)^2}$$

$-1 < x < 1$ において $y' > 0$ かつ $y'' > 0$ であるため、グラフは単調に増加し、常に下に凸である。また、極限と端点の値は以下のようになる。

$$\lim_{x \to -1+0} y = -\log 2$$

$$\lim_{x \to 1-0} y = \infty$$

さらに $x=0$ のとき $y = -\log 1 = 0$ より、原点 $(0, 0)$ を通る。以上から、グラフは点 $(-1, -\log 2)$ を白丸（含まない）とし、直線 $x=1$ を漸近線とする、原点を通る下に凸の単調増加な曲線となる。

(3)

$f(x) = -\log(1-x)$ の不定積分を求める。部分積分法を用いる際、$1 = -(1-x)'$ とみなすと計算が簡明になる。

$$\begin{aligned} \int f(x) dx &= \int \{-\log(1-x)\} dx \\ &= \int (1-x)' \log(1-x) dx \\ &= (1-x) \log(1-x) - \int (1-x) \cdot \frac{-1}{1-x} dx \\ &= (1-x) \log(1-x) + \int 1 dx \\ &= (1-x) \log(1-x) + x + C \quad (C \text{ は積分定数}) \end{aligned}$$

解説

(1) では、無限級数の和を求める基本に忠実に、まず部分和を計算する姿勢が問われている。$(1-x)$ を掛けて次数の異なる項を畳み込む計算は、入試数学において頻出のテクニックである。極限をとる際には、公比に相当する $x$ の範囲による場合分けを丁寧に行う必要がある。 (2) は対数関数の基本的なグラフを描く問題であり、定義域の端点における極限と漸近線の明示が重要である。 (3) の対数関数の積分では、部分積分を用いるのが定石である。$\int \log(1-x) dx$ を計算する際、$x$ ではなく $(x-1)$ または $-(1-x)$ の微分とみなすことで、あとの有理関数の積分が大幅に楽になる。