数学3 定積分・面積 問題 20 解説

方針・初手

定積分で表された関数の極値や変曲点を調べる問題である。まずは被積分関数に $x$ が含まれていないことを確認し、微積分学の基本定理および合成関数の微分法を用いて $f'(x)$ を求める。さらに微分して $f''(x)$ を計算し、$f''(x)=0$ となる $x$ の値が定義域 $0 < x < 10$ に存在し、かつその前後で $f''(x)$ の符号が変化するような条件を考える。

解法1

関数 $f(x)$ は次のように与えられている。

$$f(x) = \int_{0}^{\sqrt{x}} e^{-t^2} t^n dt \quad (0 < x < 10)$$

微積分学の基本定理および合成関数の微分法を用いると、導関数 $f'(x)$ は以下のようになる。

$$f'(x) = e^{-(\sqrt{x})^2} (\sqrt{x})^n \cdot (\sqrt{x})'$$

$$= e^{-x} x^{\frac{n}{2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

$$= \frac{1}{2} e^{-x} x^{\frac{n-1}{2}}$$

曲線 $y = f(x)$ の変曲点を調べるために、さらに微分して第2次導関数 $f''(x)$ を求める。積の微分法を用いて計算する。

$$f''(x) = \frac{1}{2} \left\{ -e^{-x} x^{\frac{n-1}{2}} + e^{-x} \cdot \frac{n-1}{2} x^{\frac{n-1}{2} - 1} \right\}$$

$$= \frac{1}{2} e^{-x} \left( -x^{\frac{n-1}{2}} + \frac{n-1}{2} x^{\frac{n-3}{2}} \right)$$

$$= \frac{1}{2} e^{-x} x^{\frac{n-3}{2}} \left( -x + \frac{n-1}{2} \right)$$

曲線 $y = f(x)$ が変曲点をもつ条件は、$f''(x) = 0$ となる $x$ が区間 $0 < x < 10$ に存在し、かつその前後で $f''(x)$ の符号が変化することである。

$x > 0$ において、$\frac{1}{2} e^{-x} x^{\frac{n-3}{2}} > 0$ であるため、$f''(x)$ の符号は $-x + \frac{n-1}{2}$ の符号と一致する。

$g(x) = -x + \frac{n-1}{2}$ とおくと、$g(x)$ は傾きが負の一次関数であるから、$g(x) = 0$ となる $x$ の前後で必ず正から負へと符号が変わる。 したがって、$f''(x) = 0$ を満たす $x$ が区間 $0 < x < 10$ に存在すれば、それが変曲点の $x$ 座標となる。

$f''(x) = 0$ となるのは $x = \frac{n-1}{2}$ のときである。 これが区間 $0 < x < 10$ に存在するための条件は以下の通りである。

$$0 < \frac{n-1}{2} < 10$$

各辺を2倍して計算する。

$$0 < n-1 < 20$$

$$1 < n < 21$$

問題文の条件より、$n$ は負でない整数であるから、この不等式を満たす整数 $n$ は $2 \leqq n \leqq 20$ を満たす整数となる。 また、そのときの変曲点の $x$ 座標は $x = \frac{n-1}{2}$ である。

解説

定積分で定義された関数の微分の基本問題である。上限が単なる $x$ ではなく $\sqrt{x}$ であるため、合成関数の微分法を忘れずに適用することが重要である。また、変曲点の存在条件は「$f''(x)=0$ となること」だけではなく、「その前後で $f''(x)$ の符号が変化すること」の確認が必須である。本問では $f''(x)$ を因数分解した際に現れる一次式の部分だけで符号変化が決定されるため、記述が比較的容易である。

答え

$n$ の範囲: $2 \leqq n \leqq 20$ （$n$ は整数）

変曲点の $x$ 座標: $x = \frac{n-1}{2}$