数学3 定積分・面積 問題 21 解説

方針・初手

与えられた式は $n$ 個の項からなる和の極限である。各項の規則性からシグマ記号を用いて和を表現し、$\frac{1}{n} \sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ の形を作り出す。その後、区分求積法を用いて定積分に帰着させることを目標とする。

解法1

与えられた式の和の中括弧内をシグマ記号を用いて表すと、以下のようになる。

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{(2n+k)^2} \log \frac{n+2k}{n}$$

この式を変形して、区分求積法が使える形にする。分数の分母から $n^2$ をくくり出し、真数を分割すると、

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 \left(2 + \frac{k}{n}\right)^2} \log \left(1 + 2\frac{k}{n}\right)$$

$$= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\left(2 + \frac{k}{n}\right)^2} \log \left(1 + 2\frac{k}{n}\right)$$

となる。

よって、求める極限を $I$ とすると、区分求積法より、

$$I = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\left(2 + \frac{k}{n}\right)^2} \log \left(1 + 2\frac{k}{n}\right)$$

$$= \int_{0}^{1} \frac{\log(1+2x)}{(x+2)^2} dx$$

となる。

この定積分を部分積分法を用いて計算する。

$$I = \int_{0}^{1} \log(1+2x) \cdot (x+2)^{-2} dx$$

$$= \left[ \log(1+2x) \cdot \left( -\frac{1}{x+2} \right) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{1+2x} \cdot \left( -\frac{1}{x+2} \right) dx$$

$$= \left( -\frac{\log 3}{3} - 0 \right) + \int_{0}^{1} \frac{2}{(2x+1)(x+2)} dx$$

$$= -\frac{1}{3} \log 3 + \int_{0}^{1} \frac{2}{(2x+1)(x+2)} dx$$

ここで、被積分関数を部分分数分解する。

$$\frac{2}{(2x+1)(x+2)} = \frac{2}{3} \left( \frac{2}{2x+1} - \frac{1}{x+2} \right)$$

であるから、

$$\int_{0}^{1} \frac{2}{(2x+1)(x+2)} dx = \frac{2}{3} \int_{0}^{1} \left( \frac{2}{2x+1} - \frac{1}{x+2} \right) dx$$

$$= \frac{2}{3} \left[ \log|2x+1| - \log|x+2| \right]_{0}^{1}$$

$$= \frac{2}{3} \left[ \log \left| \frac{2x+1}{x+2} \right| \right]_{0}^{1}$$

$$= \frac{2}{3} \left( \log 1 - \log \frac{1}{2} \right)$$

$$= \frac{2}{3} \log 2$$

となる。

したがって、

$$I = -\frac{1}{3} \log 3 + \frac{2}{3} \log 2$$

$$= \frac{1}{3} (2\log 2 - \log 3)$$

$$= \frac{1}{3} \log \frac{4}{3}$$

となる。

解法2

定積分

$$I = \int_{0}^{1} \frac{\log(1+2x)}{(x+2)^2} dx$$

を導出するところまでは解法1と同様である。

ここで、$1+2x = t$ とおく置換積分を行う。

$2 dx = dt$ より $dx = \frac{1}{2} dt$ であり、$x = \frac{t-1}{2}$ である。

積分区間は $x$ が $0$ から $1$ に変化するとき、$t$ は $1$ から $3$ に変化する。

分母の $(x+2)^2$ は、

$$(x+2)^2 = \left( \frac{t-1}{2} + 2 \right)^2 = \left( \frac{t+3}{2} \right)^2 = \frac{(t+3)^2}{4}$$

となる。

よって、積分は次のように書き換えられる。

$$I = \int_{1}^{3} \frac{\log t}{\frac{(t+3)^2}{4}} \cdot \frac{1}{2} dt$$

$$= \int_{1}^{3} \frac{2\log t}{(t+3)^2} dt$$

これを部分積分法により計算する。

$$I = \int_{1}^{3} \log t \cdot 2(t+3)^{-2} dt$$

$$= \left[ \log t \cdot \left( -\frac{2}{t+3} \right) \right]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{t} \cdot \left( -\frac{2}{t+3} \right) dt$$

$$= \left( -\frac{2\log 3}{6} - 0 \right) + \int_{1}^{3} \frac{2}{t(t+3)} dt$$

$$= -\frac{1}{3} \log 3 + \frac{2}{3} \int_{1}^{3} \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t+3} \right) dt$$

$$= -\frac{1}{3} \log 3 + \frac{2}{3} \left[ \log|t| - \log|t+3| \right]_{1}^{3}$$

$$= -\frac{1}{3} \log 3 + \frac{2}{3} \left[ \log \left| \frac{t}{t+3} \right| \right]_{1}^{3}$$

$$= -\frac{1}{3} \log 3 + \frac{2}{3} \left( \log \frac{3}{6} - \log \frac{1}{4} \right)$$

$$= -\frac{1}{3} \log 3 + \frac{2}{3} \left( \log \frac{1}{2} - \log \frac{1}{4} \right)$$

$$= -\frac{1}{3} \log 3 + \frac{2}{3} \log \left( \frac{1}{2} \cdot 4 \right)$$

$$= -\frac{1}{3} \log 3 + \frac{2}{3} \log 2$$

$$= \frac{1}{3} \log \frac{4}{3}$$

解説

極限の式にシグマ記号が隠れていることを見抜き、それを正しく表現することが第一歩である。式の形から「区分求積法」を連想し、基本形 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)dx$ に持ち込むために、式の中から $\frac{1}{n}$ と $\frac{k}{n}$ の塊を意図的に作り出す変形を行う。

定積分に帰着した後は、対数関数と有理関数の積の形をしているため、部分積分法を選択する。微分して有理関数となる対数関数を微分側に回すのが定石である。その後は有理関数の積分となるため、部分分数分解を用いて計算を進める。解法2のように置換積分を挟むことで、真数や分母の形が少し簡略化され、計算が見通しやすくなる。

答え

$\frac{1}{3} \log \frac{4}{3}$