数学3 定積分・面積 問題 22 解説

方針・初手

2つの曲線をそれぞれ $y = f(x)$、$y = g(x)$ とおく。$x=e$ に対応する点においてそれぞれの接線が一致するという条件は、2曲線が $x=e$ で同じ接点および同じ接線の傾きを持つことと同値である。すなわち、$f(e) = g(e)$ かつ $f'(e) = g'(e)$ が成り立つ。この関係式から未定係数 $a_1, a_2, b_1, b_2$ についての条件を求め、2曲線の差の関数 $g(x) - f(x)$ を具体的に記述する。その後、差の関数の増減を調べることで区間 $e \leqq x \leqq e^2$ における上下関係を把握し、定積分を用いて面積を計算する。

解法1

$f(x) = \log x + a_1 x + b_1$、$g(x) = -\log x + a_2 x + b_2$ とおく。

関数 $f(x), g(x)$ を微分すると、以下のようになる。

$$f'(x) = \frac{1}{x} + a_1$$

$$g'(x) = -\frac{1}{x} + a_2$$

2つの曲線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ が $x=e$ に対応する点において共通の接線をもつための条件は、$x=e$ における $y$ 座標が等しく、かつ接線の傾きが等しいことである。したがって、次の2つの式が成り立つ。

$$\begin{cases} f(e) = g(e) \\ f'(e) = g'(e) \end{cases}$$

それぞれに具体的な式を代入する。

$$\log e + a_1 e + b_1 = -\log e + a_2 e + b_2$$

$$\frac{1}{e} + a_1 = -\frac{1}{e} + a_2$$

$\log e = 1$ であるから、これらは次のように整理できる。

$$1 + a_1 e + b_1 = -1 + a_2 e + b_2 \quad \cdots \text{①}$$

$$a_1 - a_2 = -\frac{2}{e} \quad \cdots \text{②}$$

①を変形すると、以下のようになる。

$$(a_1 - a_2)e + b_1 - b_2 + 2 = 0$$

これに②を代入する。

$$\left(-\frac{2}{e}\right)e + b_1 - b_2 + 2 = 0$$

$$-2 + b_1 - b_2 + 2 = 0$$

これより、$b_1 - b_2 = 0$、すなわち $b_1 = b_2$ を得る。

次に、2曲線で囲まれた図形の面積を求めるため、区間 $e \leqq x \leqq e^2$ における $f(x)$ と $g(x)$ の大小関係を調べる。差の関数を $h(x) = g(x) - f(x)$ とおく。

$$\begin{aligned} h(x) &= (-\log x + a_2 x + b_2) - (\log x + a_1 x + b_1) \\ &= -2\log x - (a_1 - a_2)x - (b_1 - b_2) \end{aligned}$$

上で求めた $a_1 - a_2 = -\frac{2}{e}$ と $b_1 - b_2 = 0$ を代入する。

$$h(x) = -2\log x + \frac{2}{e}x$$

この関数 $h(x)$ を微分する。

$$h'(x) = -\frac{2}{x} + \frac{2}{e} = \frac{2(x - e)}{ex}$$

$x > e$ において $x - e > 0$ であり、$x > 0, e > 0$ であるから、$h'(x) > 0$ となる。

したがって、$h(x)$ は $x \geqq e$ において単調に増加する。

また、$x=e$ において $h(e) = -2\log e + \frac{2}{e} \cdot e = -2 + 2 = 0$ であるから、$x > e$ において $h(x) > 0$、すなわち $g(x) > f(x)$ が成り立つ。

求める面積を $S$ とすると、$S$ は区間 $e \leqq x \leqq e^2$ における $h(x)$ の定積分で与えられる。

$$\begin{aligned} S &= \int_{e}^{e^2} h(x) \, dx \\ &= \int_{e}^{e^2} \left( \frac{2}{e}x - 2\log x \right) dx \\ &= \left[ \frac{1}{e} x^2 - 2(x\log x - x) \right]_{e}^{e^2} \end{aligned}$$

上限 $x = e^2$ と下限 $x = e$ をそれぞれ代入して計算する。

$$\begin{aligned} S &= \left\{ \frac{1}{e}(e^2)^2 - 2(e^2\log e^2 - e^2) \right\} - \left\{ \frac{1}{e}e^2 - 2(e\log e - e) \right\} \\ &= \left\{ e^3 - 2(2e^2 - e^2) \right\} - \left\{ e - 2(e - e) \right\} \\ &= (e^3 - 2e^2) - e \\ &= e^3 - 2e^2 - e \end{aligned}$$

解説

「2つの曲線がある点において接線が一致する」という条件を正しく立式できるかが鍵である。これは「その点において2曲線が交わり（ $y$ 座標が等しい）、かつその点における微分係数（接線の傾き）が等しい」ことと同値である。

文字定数 $a_1, a_2, b_1, b_2$ の値そのものを個別に決定することはできないが、面積計算において被積分関数は差の形 $g(x) - f(x)$ で現れるため、$a_1 - a_2$ および $b_1 - b_2$ の値が分かれば被積分関数をただ1つに決定できる。

また、面積を求める際には被積分関数の符号（グラフの上下関係）を調べる必要がある。適当に大小を決め打ちするのではなく、差の関数を微分して増減を調べる手順を踏むことが論理的な解答には不可欠である。対数関数 $\log x$ の不定積分 $\int \log x \, dx = x\log x - x + C$ は頻出であるため、すぐに使えるようにしておくべきである。

答え

$$e^3 - 2e^2 - e$$