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数学3 定積分・面積問題 23 解説

方針・初手

曲線と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を求めるために $y=0$ とおく。$e^x = t$ と置き換えることで、$t$ の2次方程式に帰着させる。積分区間における曲線の上下関係を調べ、定積分により面積を計算する。

解法1

曲線 $y = ae^x + \left(1 - \frac{1}{2}a\right)e^{-x} - \sqrt{2}$ と $x$ 軸の交点の $x$ 座標を求めるため、$y=0$ とおく。

$$ae^x + \left(1 - \frac{1}{2}a\right)e^{-x} - \sqrt{2} = 0$$

両辺に $e^x$ を掛けて整理すると

$$a(e^x)^2 - \sqrt{2}e^x + 1 - \frac{a}{2} = 0$$

$e^x = t$ ($t>0$) とおくと

$$at^2 - \sqrt{2}t + 1 - \frac{a}{2} = 0$$

2次方程式の解の公式より

$$t = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4a\left(1 - \frac{a}{2}\right)}}{2a} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4a + 2a^2}}{2a} = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2(a-1)^2}}{2a}$$

$0 < a < 1$ より $a-1 < 0$ であるから、$\sqrt{(a-1)^2} = -(a-1) = 1-a$ となる。

$$t = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2}(1-a)}{2a} = \frac{1 \pm (1-a)}{\sqrt{2}a}$$

これより

$$t = \frac{1 - (1-a)}{\sqrt{2}a} = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad t = \frac{1 + (1-a)}{\sqrt{2}a} = \frac{2-a}{\sqrt{2}a}$$

$t_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$t_2 = \frac{2-a}{\sqrt{2}a}$ とおく。

$0 < a < 1$ において、$t_2 - t_1 = \frac{2-a}{\sqrt{2}a} - \frac{a}{\sqrt{2}a} = \frac{2-2a}{\sqrt{2}a} > 0$ であるから $t_1 < t_2$ が成り立つ。また、明らかに $t_1 > 0$ である。

$e^x = t_1, t_2$ を満たす $x$ をそれぞれ $\alpha, \beta$ とおくと、$\alpha < \beta$ であり

$$\alpha = \log \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{2}\log 2$$

$$\beta = \log \frac{2-a}{\sqrt{2}a}$$

$\alpha \leqq x \leqq \beta$ において、$t_1 \leqq e^x \leqq t_2$ であり、

$$y = a e^{-x} (e^x - t_1)(e^x - t_2) \leqq 0$$

となるから、この区間で曲線は $x$ 軸の下側（または $x$ 軸上）にある。

求める面積を $S$ とすると

$$S = \int_{\alpha}^{\beta} (0 - y) dx = -\int_{\alpha}^{\beta} \left\{ ae^x + \left(1 - \frac{1}{2}a\right)e^{-x} - \sqrt{2} \right\} dx$$

$$= -\left[ ae^x - \left(1 - \frac{1}{2}a\right)e^{-x} - \sqrt{2}x \right]_{\alpha}^{\beta}$$

$$= -a(e^\beta - e^\alpha) + \left(1 - \frac{a}{2}\right)(e^{-\beta} - e^{-\alpha}) + \sqrt{2}(\beta - \alpha)$$

ここで、$e^\alpha = t_1$、$e^\beta = t_2$ より

$$e^\beta - e^\alpha = t_2 - t_1 = \frac{\sqrt{2}(1-a)}{a}$$

$$e^{-\beta} - e^{-\alpha} = \frac{1}{t_2} - \frac{1}{t_1} = \frac{\sqrt{2}a}{2-a} - \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}a - \sqrt{2}(2-a)}{2-a} = \frac{2\sqrt{2}(a-1)}{2-a}$$

$$\beta - \alpha = \log t_2 - \log t_1 = \log \frac{t_2}{t_1} = \log \left( \frac{2-a}{\sqrt{2}a} \cdot \sqrt{2} \right) = \log \frac{2-a}{a}$$

これらを代入して計算する。

$$S = -a \cdot \frac{\sqrt{2}(1-a)}{a} + \frac{2-a}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}(a-1)}{2-a} + \sqrt{2}\log\frac{2-a}{a}$$

$$= -\sqrt{2}(1-a) + \sqrt{2}(a-1) + \sqrt{2}\log\frac{2-a}{a}$$

$$= \sqrt{2}(a-1) + \sqrt{2}(a-1) + \sqrt{2}\log\frac{2-a}{a}$$

$$= 2\sqrt{2}(a-1) + \sqrt{2}\log\frac{2-a}{a}$$

$$= \sqrt{2}\left( 2a - 2 + \log\frac{2-a}{a} \right)$$

解説

指数関数を含む関数のグラフと面積に関する標準的な問題である。$e^x=t$ と置換することで交点を求め、定積分を計算する。定積分の計算において、交点の $x$ 座標である $\alpha, \beta$ の式を直接代入すると式が煩雑になるため、$e^\alpha, e^\beta$ の値を利用して各項の値を求めてから代入すると、計算ミスを防ぎやすくなる。