数学3 定積分・面積 問題 24 解説

方針・初手

媒介変数で表された曲線の接線を求めるため、まずは $\frac{dx}{d\theta}$ および $\frac{dy}{d\theta}$ を計算し、接線の傾き $\frac{dy}{dx}$ を $\theta$ の式で表す。 直線が $x$軸の正の向きとなす角が与えられていることから、その傾きから $\theta$ の値を決定して接点の座標を求める。 面積の計算では、曲線が上に凸であることを図形的に把握し、接線と $x$軸、および接点から下ろした垂線で囲まれる直角二等辺三角形の面積から、曲線と $x$軸で囲まれる部分の面積を引くことで求める。

解法1

(1)

与えられた曲線 $C$ の式より、$\theta$ で微分すると

$$\frac{dx}{d\theta} = a(1 - \cos \theta), \quad \frac{dy}{d\theta} = a \sin \theta$$

となる。したがって、接線の傾き $\frac{dy}{dx}$ は

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{a \sin \theta}{a(1 - \cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta}$$

である。

求める接線は $x$軸の正の向きと $\frac{\pi}{4}$ の角をなすため、その傾きは $\tan \frac{\pi}{4} = 1$ である。ゆえに、

$$\frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} = 1$$

が成り立つ。分母を払うと

$$\sin \theta = 1 - \cos \theta$$

$$\sin \theta + \cos \theta = 1$$

三角関数の合成を用いると

$$\sqrt{2} \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) = 1$$

$$\sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

ここで、定義域 $0 < \theta < \pi$ より $\frac{\pi}{4} < \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{4}$ であるから

$$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$

これを解いて、接点のパラメータ $\theta$ は

$$\theta = \frac{\pi}{2}$$

と求まる。このとき、接点の座標 $(x, y)$ は

$$x = a \left( \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2} \right) = a \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right)$$

$$y = a \left( 1 - \cos \frac{\pi}{2} \right) = a(1 - 0) = a$$

となる。傾きが $1$ で、点 $\left( a\left(\frac{\pi}{2} - 1\right), a \right)$ を通るので、接線の方程式は

$$y - a = 1 \cdot \left\{ x - a \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) \right\}$$

$$y = x - a \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) + a$$

$$y = x + a \left( 2 - \frac{\pi}{2} \right)$$

(2)

(1)で求めた接線を $l$ とする。接線 $l$ と $x$軸の交点の $x$座標は、$y = 0$ を代入して

$$x = a \left( \frac{\pi}{2} - 2 \right)$$

となる。ここで、$a > 0$ であり $\frac{\pi}{2} < 2$ であるから、この $x$切片は負の値をとる。

また、曲線 $C$ はサイクロイドであり、常に上に凸の曲線である。接点の $x$座標は $a\left(\frac{\pi}{2} - 1\right) > 0$ である。 したがって、曲線 $C$ と接線 $l$ および $x$軸で囲まれる図形は、$y \geqq 0$ の領域に存在する。

求める面積 $S$ は、接線 $l$、$x$軸、および直線 $x = a\left(\frac{\pi}{2} - 1\right)$ で囲まれる直角二等辺三角形の面積から、曲線 $C$、$x$軸、および直線 $x = a\left(\frac{\pi}{2} - 1\right)$ で囲まれる部分の面積 $S_1$ を引いたものになる。

直角二等辺三角形の底辺の長さは $a\left(\frac{\pi}{2} - 1\right) - a\left(\frac{\pi}{2} - 2\right) = a$、高さは $a$ であるから、その面積は

$$\frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$$

である。

次に、曲線 $C$ の下側の面積 $S_1$ を求める。積分区間は $x$ が $0$ から $a\left(\frac{\pi}{2} - 1\right)$ まで変化し、これに対応する $\theta$ の区間は $0$ から $\frac{\pi}{2}$ である。また、$dx = a(1 - \cos \theta)d\theta$ である。

$$\begin{aligned} S_1 &= \int_0^{a\left(\frac{\pi}{2} - 1\right)} y \, dx \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} a(1 - \cos \theta) \cdot a(1 - \cos \theta) \, d\theta \\ &= a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos \theta)^2 \, d\theta \\ &= a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - 2\cos \theta + \cos^2 \theta) \, d\theta \\ &= a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( 1 - 2\cos \theta + \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \right) \, d\theta \\ &= a^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{3}{2} - 2\cos \theta + \frac{1}{2}\cos 2\theta \right) \, d\theta \\ &= a^2 \left[ \frac{3}{2}\theta - 2\sin \theta + \frac{1}{4}\sin 2\theta \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &= a^2 \left( \frac{3\pi}{4} - 2 \right) \end{aligned}$$

したがって、求める面積 $S$ は

$$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2}a^2 - S_1 \\ &= \frac{1}{2}a^2 - a^2 \left( \frac{3\pi}{4} - 2 \right) \\ &= a^2 \left( \frac{1}{2} - \frac{3\pi}{4} + 2 \right) \\ &= a^2 \left( \frac{5}{2} - \frac{3\pi}{4} \right) \\ &= \frac{a^2(10 - 3\pi)}{4} \end{aligned}$$

解説

サイクロイドの媒介変数表示に関する典型的な微積分問題である。 (1)では媒介変数で表された関数の微分法を正確に実行し、三角方程式を解く力が問われる。$\sin \theta - \cos \theta = -1$ といった形でも解けるが、合成を用いるのが最も確実である。 (2)の面積計算では、接線と曲線の上下関係を正確に把握することが不可欠である。上から下を引く形で直接積分 $\int (接線 - 曲線) dx$ を計算してもよいが、解説のように三角形の面積から曲線の定積分を引く形に分割したほうが計算の見通しが立ちやすく、ミスの軽減に繋がる。半角の公式を用いた三角関数の積分は確実に処理できるようにしておきたい。

答え

(1) $y = x + a\left(2 - \frac{\pi}{2}\right)$

(2) $\frac{a^2(10 - 3\pi)}{4}$