数学3 定積分・面積 問題 26 解説

方針・初手

方程式や不等式を扱いやすくするため、$\cos x$ を $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ に書き換えて三角関数の和積の公式を利用するのが定石である。この変形を用いると、(1)の方程式の解だけでなく、(2)の積分計算やその後の最大値の導出まで見通しよく進めることができる。

解法1

(1)

与えられた方程式 $\sin(x-\theta) = \cos x$ に対して、$\cos x = \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ と変形して移項すると、

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right) - \sin(x-\theta) = 0$$

和積の公式 $\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ を用いると、

$$2\cos\left(x - \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = 0$$

$0 \leqq \theta \leqq \pi$ より $\frac{\pi}{4} \leqq \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{3\pi}{4}$ であるから、常に $\sin\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) > 0$ となる。 したがって、方程式が成り立つ条件は、

$$\cos\left(x - \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = 0$$

$-\pi \leqq x \leqq \pi$ のとき、$x - \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}$ のとりうる値の範囲は、

$$-\frac{3\pi}{4} - \frac{\theta}{2} \leqq x - \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{5\pi}{4} - \frac{\theta}{2}$$

$0 \leqq \frac{\theta}{2} \leqq \frac{\pi}{2}$ であることを考慮すると、この範囲内で $\cos$ の値が $0$ になるのは、

$$x - \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$$

これを $x$ について解くと、

$$x = \frac{\theta}{2} - \frac{3\pi}{4}, \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}$$

(2)

領域の条件 $\sin(x-\theta) \leqq y \leqq \cos x$ より、面積 $S(\theta)$ を求めるための積分区間は $\cos x - \sin(x-\theta) \geqq 0$ を満たす $x$ の範囲である。 (1)の変形より、

$$\cos x - \sin(x-\theta) = 2\cos\left(x - \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$$

$\sin\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) > 0$ であるため、$\cos x - \sin(x-\theta) \geqq 0$ となるのは $\cos\left(x - \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \geqq 0$ のときである。 (1)の結果から、$-\pi \leqq x \leqq \pi$ においてこの条件を満たす区間は、

$$\frac{\theta}{2} - \frac{3\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}$$

よって、求める面積 $S(\theta)$ は、

$$S(\theta) = \int_{\frac{\theta}{2} - \frac{3\pi}{4}}^{\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}} 2\cos\left(x - \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) dx$$

積分変数は $x$ であり、$\sin\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$ は定数として扱えるため、

$$S(\theta) = 2\sin\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \left[ \sin\left(x - \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \right]_{\frac{\theta}{2} - \frac{3\pi}{4}}^{\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}}$$

上端と下端を代入すると、

$$S(\theta) = 2\sin\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \left( \sin\frac{\pi}{2} - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right)$$

$$S(\theta) = 2\sin\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \times (1 - (-1)) = 4\sin\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right)$$

ここで、$0 \leqq \theta \leqq \pi$ より $\frac{\pi}{4} \leqq \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{3\pi}{4}$ である。 したがって、$S(\theta)$ は $\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ のとき、すなわち $\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき最大となる。 その最大値は、

$$S\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4\sin\frac{\pi}{2} = 4$$

解説

三角関数の差を積の形に直す「和積の公式」が極めて有効に働く問題である。加法定理を展開して $\sin x$ と $\cos x$ の一次結合として合成する解法も考えられるが、その場合は振幅に $\sqrt{2+2\sin\theta}$ といった複雑な項が現れ、半角の公式を用いた根号の簡略化など計算の手間が大幅に増える。 (2)の積分においても、被積分関数を無闇に展開せず、和積の公式を用いた形のまま積分することで、定数部分をインテグラルの外に出し、単なる $\cos$ の積分に帰着させることができるため、計算ミスを劇的に減らすことができる。

答え

(1)

$x = \frac{\theta}{2} - \frac{3\pi}{4}, \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}$

(2)

$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき、最大値 $4$