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数学3 定積分・面積問題 28 解説

方針・初手

$f(x)$ と $\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)$ がともに偶関数であることに着目し、積分区間を $0 \leqq x \leqq 1$ に絞る。被積分関数である $f(x)$ の表式は区間 $x \in [0, a]$ と $x \in (a, \infty)$ で異なるため、積分区間 $[0, 1]$ 内に分岐点 $x=a$ が含まれるかどうか、すなわち $a \leqq 1$ か $a > 1$ かで場合分けを行って定積分を計算する。

解法1

(1) $f(x)$ の定義より、$x \in [-a, 0)$ のとき $f(x) = \frac{1}{a^2}(x+a)$ であるから、 $f(-x) = \frac{1}{a^2}(-x+a)$ となり、これは $x \in (0, a]$ における $f(x)$ と一致する。また、$|x| > a$ のとき $f(-x) = 0 = f(x)$ であり、$f(0) = \frac{1}{a}$ である。したがって、$f(x)$ はすべての $x$ において $f(-x) = f(x)$ を満たす偶関数である。

また、$\cos\left(-\frac{\pi}{2}x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)$ より $\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)$ も偶関数であるから、これらの積 $\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) f(x)$ も偶関数となる。よって、

$$F(a) = 2 \int_{0}^{1} \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) f(x) dx$$

ここで、$a$ と $1$ の大小関係によって場合分けを行う。

(i) $0 < a \leqq 1$ のとき積分区間 $[0, 1]$ において、$0 \leqq x \leqq a$ のときは $f(x) = \frac{1}{a^2}(-x+a)$、$a < x \leqq 1$ のときは $f(x) = 0$ であるから、

$$F(a) = 2 \int_{0}^{a} \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) \frac{1}{a^2}(a-x) dx + 2 \int_{a}^{1} \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) \cdot 0 dx$$

$$= \frac{2}{a^2} \int_{0}^{a} (a-x) \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) dx$$

部分積分法を用いて計算する。

$$\int (a-x) \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) dx = (a-x) \cdot \frac{2}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) - \int (-1) \cdot \frac{2}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) dx$$

$$= \frac{2(a-x)}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) - \frac{4}{\pi^2} \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) + C \quad (C\text{は積分定数})$$

これを用いると、

$$F(a) = \frac{2}{a^2} \left[ \frac{2(a-x)}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) - \frac{4}{\pi^2} \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) \right]_{0}^{a}$$

$$= \frac{2}{a^2} \left\{ \left( 0 - \frac{4}{\pi^2} \cos\frac{\pi a}{2} \right) - \left( 0 - \frac{4}{\pi^2} \right) \right\}$$

$$= \frac{8}{\pi^2 a^2} \left( 1 - \cos\frac{\pi a}{2} \right)$$

(ii) $a > 1$ のとき積分区間 $[0, 1]$ において常に $0 \leqq x \leqq a$ を満たすから、$f(x) = \frac{1}{a^2}(a-x)$ である。

$$F(a) = 2 \int_{0}^{1} \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) \frac{1}{a^2}(a-x) dx$$

$$= \frac{2}{a^2} \left[ \frac{2(a-x)}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) - \frac{4}{\pi^2} \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) \right]_{0}^{1}$$

$$= \frac{2}{a^2} \left\{ \left( \frac{2(a-1)}{\pi} - 0 \right) - \left( 0 - \frac{4}{\pi^2} \right) \right\}$$

$$= \frac{4(a-1)}{\pi a^2} + \frac{8}{\pi^2 a^2}$$

以上より、

$$F(a) = \begin{cases} \frac{8}{\pi^2 a^2} \left( 1 - \cos\frac{\pi a}{2} \right) & (0 < a \leqq 1 \text{ のとき}) \\ \frac{4(a-1)}{\pi a^2} + \frac{8}{\pi^2 a^2} & (a > 1 \text{ のとき}) \end{cases}$$

(2) $\lim_{a \to +0} F(a)$ については、$0 < a \leqq 1$ の場合の $F(a)$ の式を用いる。半角の公式 $1 - \cos\theta = 2\sin^2\frac{\theta}{2}$ より、

$$F(a) = \frac{8}{\pi^2 a^2} \cdot 2\sin^2\frac{\pi a}{4} = \frac{16}{\pi^2 a^2} \sin^2\frac{\pi a}{4}$$

極限を求めるために式を変形すると、

$$F(a) = \frac{16}{\pi^2 a^2} \left( \frac{\sin\frac{\pi a}{4}}{\frac{\pi a}{4}} \cdot \frac{\pi a}{4} \right)^2 = \frac{16}{\pi^2 a^2} \cdot \frac{\pi^2 a^2}{16} \left( \frac{\sin\frac{\pi a}{4}}{\frac{\pi a}{4}} \right)^2 = \left( \frac{\sin\frac{\pi a}{4}}{\frac{\pi a}{4}} \right)^2$$

$a \to +0$ のとき $\frac{\pi a}{4} \to 0$ であるから、

$$\lim_{a \to +0} F(a) = 1^2 = 1$$

次に $\lim_{a \to \infty} a F(a)$ については、$a > 1$ の場合の $F(a)$ の式を用いる。

$$a F(a) = a \left( \frac{4(a-1)}{\pi a^2} + \frac{8}{\pi^2 a^2} \right) = \frac{4(a-1)}{\pi a} + \frac{8}{\pi^2 a} = \frac{4}{\pi} \left( 1 - \frac{1}{a} \right) + \frac{8}{\pi^2 a}$$

$a \to \infty$ のとき $\frac{1}{a} \to 0$ であるから、

$$\lim_{a \to \infty} a F(a) = \frac{4}{\pi} \cdot 1 + 0 = \frac{4}{\pi}$$

解説

関数の対称性（偶関数・奇関数）を利用して積分区間を半分にすることで、計算量を大きく減らすことができる定石問題である。 (1)での場合分けは、積分区間の中に関数の式の切り替わり目 ($x=a$) が含まれるかどうかで判断する。 (2)の $a \to +0$ の極限では、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ に帰着させるための式変形がポイントとなる。微分の定義式などを活用して極限を求めることも可能である。