数学3 定積分・面積 問題 31 解説

方針・初手

極限を求める式が、累乗根の中に $n$ 個の積を持つ形になっている。この積の各因数を $n$ で割る形を作るため、外に出ている $\frac{1}{n}$ を根号の中に入れ、対数をとることで和の極限（区分求積法）に帰着させる。

解法1

求める極限値の、極限をとる前の数列の一般項を $a_n$ とおく。

$$a_n = \frac{1}{n} \sqrt[n]{3n(3n-2)(3n-4) \cdots \cdots (n+4)(n+2)}$$

根号の中の積は、$n+2, n+4, \cdots, 3n$ の積であり、一般項は $n+2k \ (k=1, 2, \cdots, n)$ と表される。つまり、積の項数は $n$ 個である。

これを用いて $a_n$ をシグマ記号を使える形に変形する。外の $\frac{1}{n}$ を根号の中に入れると $\frac{1}{n^n}$ となるので、

$$\begin{aligned} a_n &= \sqrt[n]{\frac{(n+2)(n+4) \cdots \cdots (3n)}{n^n}} \\ &= \sqrt[n]{\frac{n+2}{n} \cdot \frac{n+4}{n} \cdots \cdots \frac{n+2n}{n}} \\ &= \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n} \left( 1 + \frac{2k}{n} \right)} \end{aligned}$$

$a_n > 0$ であるから、両辺の自然対数をとる。

$$\log a_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log \left( 1 + \frac{2k}{n} \right)$$

ここで $n \to \infty$ とすると、区分求積法により和の極限は定積分に置き換わる。

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \log a_n &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log \left( 1 + \frac{2k}{n} \right) \\ &= \int_{0}^{1} \log (1+2x) \, dx \end{aligned}$$

この定積分を部分積分法により計算する。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \log (1+2x) \, dx &= \int_{0}^{1} \left( \frac{1+2x}{2} \right)' \log (1+2x) \, dx \\ &= \left[ \frac{1+2x}{2} \log (1+2x) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1+2x}{2} \cdot \frac{2}{1+2x} \, dx \\ &= \frac{3}{2} \log 3 - \frac{1}{2} \log 1 - \int_{0}^{1} 1 \, dx \\ &= \frac{3}{2} \log 3 - [x]_{0}^{1} \\ &= \frac{3}{2} \log 3 - 1 \end{aligned}$$

したがって、極限値は次のように求まる。

$$\lim_{n \to \infty} \log a_n = \log 3^{\frac{3}{2}} - \log e = \log \frac{3\sqrt{3}}{e}$$

対数関数 $y = \log x$ は連続関数であるから、真数の極限と極限の対数は一致する。

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{3\sqrt{3}}{e}$$

解説

積の形を含んだ極限問題の定石である「対数をとって区分求積法」を用いる問題である。

最初から対数をとるのではなく、積の項数が $n$ 個であることを確認し、外にある $\frac{1}{n}$ を $\frac{1}{n^n}$ として根号の中に入れることで、各項を $\frac{1}{n}$ 倍した形 $\left(1 + \frac{2k}{n}\right)$ を作るのがポイントである。

定積分の計算においては、$\int \log (ax+b) \, dx$ の形では $x+\frac{b}{a}$ ではなく $\frac{ax+b}{a}$ を微分側とみなして部分積分を行うと、あとに残る積分の項が定数となって計算が容易になる。

答え

$$\frac{3\sqrt{3}}{e}$$