数学3 定積分・面積 問題 32 解説

方針・初手

(1) は、右辺から左辺を引いた関数 $h(y) = y - 1 - \log y$ を定義し、微分を用いて最小値が $0$ 以上であることを示す。

(2) は、証明すべき不等式を変形し、一つの積分にまとめることで $\int_{0}^{1} f(x) \log \frac{g(x)}{f(x)} dx \leqq 0$ を示す形にする。ここから、(1)の不等式において $y = \frac{g(x)}{f(x)}$ と置く方針を立てる。

解法1

(1)

$y>0$ において、関数 $h(y)$ を以下のように定める。

$$h(y) = y - 1 - \log y$$

これを $y$ について微分すると、

$$h'(y) = 1 - \frac{1}{y} = \frac{y-1}{y}$$

$y>0$ の範囲において、$h'(y) = 0$ となるのは $y = 1$ のときである。

$0 < y < 1$ のとき $h'(y) < 0$ であり、$y > 1$ のとき $h'(y) > 0$ となるため、$h(y)$ は $y = 1$ のとき最小となる。

その最小値は、

$$h(1) = 1 - 1 - \log 1 = 0$$

である。したがって、$y > 0$ において常に $h(y) \geqq 0$ が成り立つ。

これより、$y - 1 - \log y \geqq 0$ すなわち、

$$\log y \leqq y - 1$$

が示された。

(2)

証明すべき不等式は、次のように変形できる。

$$\int_{0}^{1} f(x) \log g(x) dx - \int_{0}^{1} f(x) \log f(x) dx \leqq 0$$

$$\int_{0}^{1} f(x) \{ \log g(x) - \log f(x) \} dx \leqq 0$$

$$\int_{0}^{1} f(x) \log \frac{g(x)}{f(x)} dx \leqq 0$$

条件(A)により、$0 \leqq x \leqq 1$ において $f(x) > 0$ かつ $g(x) > 0$ であるため、$\frac{g(x)}{f(x)} > 0$ が成り立つ。

したがって、(1) で示した不等式 $\log y \leqq y - 1$ において、$y = \frac{g(x)}{f(x)}$ と置き換えることができ、

$$\log \frac{g(x)}{f(x)} \leqq \frac{g(x)}{f(x)} - 1$$

が成り立つ。

ここで、条件(A)より $f(x) > 0$ であるため、この不等式の両辺に $f(x)$ を掛けても不等号の向きは変わらない。

$$f(x) \log \frac{g(x)}{f(x)} \leqq f(x) \left( \frac{g(x)}{f(x)} - 1 \right)$$

$$f(x) \log \frac{g(x)}{f(x)} \leqq g(x) - f(x)$$

この不等式の両辺を $x$ について $0$ から $1$ まで積分すると、

$$\int_{0}^{1} f(x) \log \frac{g(x)}{f(x)} dx \leqq \int_{0}^{1} \{ g(x) - f(x) \} dx$$

となる。右辺の定積分を計算すると、条件(B)により、

$$\int_{0}^{1} \{ g(x) - f(x) \} dx = \int_{0}^{1} g(x) dx - \int_{0}^{1} f(x) dx = 1 - 1 = 0$$

となる。したがって、

$$\int_{0}^{1} f(x) \log \frac{g(x)}{f(x)} dx \leqq 0$$

が成り立つ。これを展開して整理すると、

$$\int_{0}^{1} f(x) \{ \log g(x) - \log f(x) \} dx \leqq 0$$

$$\int_{0}^{1} f(x) \log g(x) dx \leqq \int_{0}^{1} f(x) \log f(x) dx$$

となり、題意は示された。

解説

(2)のような「誘導を用いて積分不等式を示す問題」では、誘導の式に何を代入するかが鍵となる。証明したい不等式をひとつの積分にまとめ、対数の性質 $\log A - \log B = \log \frac{A}{B}$ を利用して形を整えることで、$y = \frac{g(x)}{f(x)}$ という置き換えが自然に導かれる。

また、不等式の両辺に変数を含む式 $f(x)$ を掛ける際は、その符号が正であることを明記することが論理展開上不可欠である。本問では条件(A)がその保証を与えている。与えられた条件をいつ、どこで使うかが非常に明確に設計された良問である。

答え

(1) および (2) ともに、解答の通り証明された。