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数学3 定積分・面積問題 34 解説

方針・初手

(1) 曲線 $C$ が $x$軸に接する条件は、$y$の最小値（極小値）が $0$ になることと同値である。$y$ を $t$ で微分し、増減を調べる。

(2) 求める面積は、$y$軸方向の積分 $\int (x_C - x_{直線}) dy$ で計算するか、$x$軸方向の積分 $\int y dx$ に分けるかで計算の手間が異なる。媒介変数のまま積分を実行し、工夫して計算する。

解法1

(1)

与えられた曲線 $C$ の $y$ 座標について、$t$ で微分する。

$$y = -t + e^{at}$$

$$\frac{dy}{dt} = -1 + ae^{at}$$

$\frac{dy}{dt} = 0$ とすると、$e^{at} = \frac{1}{a}$ となる。 $a > 0$ より $\frac{1}{a} > 0$ であるから、両辺の自然対数をとると、

$$at = -\log a \iff t = -\frac{\log a}{a}$$

$\frac{dy}{dt}$ の符号は、$t < -\frac{\log a}{a}$ のとき負、$t > -\frac{\log a}{a}$ のとき正となる。したがって、$y$ は $t = -\frac{\log a}{a}$ で極小かつ最小となる。

曲線 $C$ が $x$軸に接するための条件は、$y$ の最小値が $0$ となることである。 $t = -\frac{\log a}{a}$ のとき、$e^{at} = \frac{1}{a}$ であるから、

$$y = -\left( -\frac{\log a}{a} \right) + \frac{1}{a} = \frac{\log a + 1}{a}$$

これが $0$ になるので、

$$\frac{\log a + 1}{a} = 0$$

$$\log a = -1$$

$$a = \frac{1}{e}$$

これは $a > 0$ を満たす。

(2)

(1)より、$a = \frac{1}{e}$ である。曲線 $C$ の方程式は、

$$x = t + e^{\frac{t}{e}}, \quad y = -t + e^{\frac{t}{e}}$$

曲線 $C$ と直線 $y = x$ の交点の $t$ を求める。$x = y$ より、

$$t + e^{\frac{t}{e}} = -t + e^{\frac{t}{e}}$$

$$2t = 0 \iff t = 0$$

$t = 0$ のとき、$(x, y) = (1, 1)$ である。また、曲線 $C$ が $x$軸 ($y = 0$) に接する点は $t = -\frac{\log (1/e)}{1/e} = e$ のときであり、このときの接点の座標は、

$$x = e + e^{\frac{e}{e}} = 2e, \quad y = 0$$

よって、接点は $(2e, 0)$ である。

区間 $0 \leqq t \leqq e$ において、 $\frac{dx}{dt} = 1 + \frac{1}{e}e^{\frac{t}{e}} > 0$ より、$x$ は単調に増加する。 $\frac{dy}{dt} = -1 + \frac{1}{e}e^{\frac{t}{e}} \leqq 0$ より、$y$ は単調に減少する。 $t$ が $0$ から $e$ まで変化するとき、$x$ は $1$ から $2e$ まで増加し、$y$ は $1$ から $0$ まで減少する。

求める面積 $S$ は、$x$軸、直線 $y = x$、および曲線 $C$ で囲まれた領域である。この領域を $y$ 軸方向に積分して求める。 $y$ の範囲は $0 \leqq y \leqq 1$ であり、領域の右端の $x$ 座標は曲線 $C$ の $x$ 、左端の $x$ 座標は直線 $y = x$ の $x$ であるから、

$$S = \int_{0}^{1} (x_C - y) \, dy$$

ここで、$x_C - y = (t + e^{\frac{t}{e}}) - (-t + e^{\frac{t}{e}}) = 2t$ である。また、$y = -t + e^{\frac{t}{e}}$ より $dy = \left( -1 + \frac{1}{e}e^{\frac{t}{e}} \right) dt$ であり、$y$ が $0$ から $1$ まで変化するとき、$t$ は $e$ から $0$ まで変化する。

置換積分を行うと、

$$S = \int_{e}^{0} 2t \left( -1 + \frac{1}{e}e^{\frac{t}{e}} \right) dt = \int_{0}^{e} \left( 2t - \frac{2}{e} t e^{\frac{t}{e}} \right) dt$$

それぞれの項を積分する。

$$\int_{0}^{e} 2t \, dt = \left[ t^2 \right]_{0}^{e} = e^2$$

部分積分を用いて、

$$\int_{0}^{e} t e^{\frac{t}{e}} \, dt = \left[ e t e^{\frac{t}{e}} \right]_{0}^{e} - \int_{0}^{e} e e^{\frac{t}{e}} \, dt = e^2 e^1 - \left[ e^2 e^{\frac{t}{e}} \right]_{0}^{e} = e^3 - (e^3 - e^2) = e^2$$

したがって、面積 $S$ は、

$$S = e^2 - \frac{2}{e} \cdot e^2 = e^2 - 2e$$

解法2

(2)の別解（$x$ で積分する方法）

求める面積 $S$ は、直線 $y = x$ と $x$軸と $x=1$ で囲まれた三角形の面積と、$x=1$ から $x=2e$ までの曲線 $C$ と $x$軸で囲まれた面積の和として計算できる。

$$S = \int_{0}^{1} x \, dx + \int_{1}^{2e} y \, dx$$

第1項は直角二等辺三角形の面積であり、$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$ である。第2項の積分について、$x = t + e^{\frac{t}{e}}$ より $dx = \left( 1 + \frac{1}{e}e^{\frac{t}{e}} \right) dt$ であり、$x$ が $1$ から $2e$ まで変化するとき、$t$ は $0$ から $e$ まで変化する。

$$\int_{1}^{2e} y \, dx = \int_{0}^{e} \left( -t + e^{\frac{t}{e}} \right) \left( 1 + \frac{1}{e}e^{\frac{t}{e}} \right) dt$$

被積分関数を展開すると、

$$\left( -t + e^{\frac{t}{e}} \right) \left( 1 + \frac{1}{e}e^{\frac{t}{e}} \right) = -t - \frac{1}{e} t e^{\frac{t}{e}} + e^{\frac{t}{e}} + \frac{1}{e} e^{\frac{2t}{e}}$$

それぞれの項を $0$ から $e$ まで積分する。

$$\int_{0}^{e} (-t) \, dt = \left[ -\frac{1}{2}t^2 \right]_{0}^{e} = -\frac{1}{2}e^2$$

解法1の計算結果より $\int_{0}^{e} t e^{\frac{t}{e}} \, dt = e^2$ であるから、

$$\int_{0}^{e} \left( -\frac{1}{e} t e^{\frac{t}{e}} \right) dt = -\frac{1}{e} \cdot e^2 = -e$$

$$\int_{0}^{e} e^{\frac{t}{e}} \, dt = \left[ e e^{\frac{t}{e}} \right]_{0}^{e} = e^2 - e$$

$$\int_{0}^{e} \frac{1}{e} e^{\frac{2t}{e}} \, dt = \left[ \frac{1}{2} e^{\frac{2t}{e}} \right]_{0}^{e} = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}$$

これらをすべて足し合わせると、

$$\int_{1}^{2e} y \, dx = -\frac{1}{2}e^2 - e + (e^2 - e) + \left( \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2} \right) = e^2 - 2e - \frac{1}{2}$$

したがって、求める面積 $S$ は、

$$S = \frac{1}{2} + \left( e^2 - 2e - \frac{1}{2} \right) = e^2 - 2e$$

解説

媒介変数表示された曲線の微積分を問う典型問題である。 (1)では、「曲線が $x$ 軸に接する」という図形的な条件を、「$y$ 座標の極値（最小値）が $0$ になる」という数式上の条件に適切に言い換えることが重要である。 (2)の面積計算では、$x$ 積分と $y$ 積分のどちらを選ぶかで計算量が大きく変わる。この問題では、曲線の方程式を眺めると被積分関数が $x_C - y = 2t$ と非常に簡略化されることに気づくことができる。このように $y$ 軸方向の積分（解法1）を選択すると、式の展開や項数が少なくなり、計算ミスを格段に防ぎやすくなる。