数学3 定積分・面積 問題 36 解説

方針・初手

$y=f(x)$ のグラフが $x$ 軸より上側にあるような $x$ の範囲を特定するため、不等式 $f(x) \ge 0$ を解く。 その後、求めた区間で $f(x)$ を定積分して面積を計算する。被積分関数は対数関数と累乗の関数の積となるため、置換積分や部分積分を活用して計算を進める。

解法1

$x>0$ における $f(x)$ の符号を調べる。 関数 $f(x)$ は以下のように2つの因数の積で表される。

$$f(x) = \left( \frac{e}{x^{\alpha}} - 1 \right) \frac{\log x}{x}$$

各因数について、$x>0$ の範囲で符号が変わる境界を求める。

$$\frac{e}{x^{\alpha}} - 1 \ge 0 \iff x^{\alpha} \le e \iff x \le e^{\frac{1}{\alpha}}$$

$$\frac{\log x}{x} \ge 0 \iff \log x \ge 0 \iff x \ge 1$$

$\alpha > 0$ より $\frac{1}{\alpha} > 0$ であるから、$1 < e^{\frac{1}{\alpha}}$ が成り立つ。 したがって、$x>0$ における $f(x)$ の符号は以下のようになる。

• $0 < x < 1$ のとき、$f(x) < 0$
• $1 < x < e^{\frac{1}{\alpha}}$ のとき、$f(x) > 0$
• $x > e^{\frac{1}{\alpha}}$ のとき、$f(x) < 0$

よって、$y=f(x)$ のグラフが $x$ 軸より上側にある部分の $x$ の範囲は $1 \le x \le e^{\frac{1}{\alpha}}$ である。 求める面積を $S$ とすると、次のように表される。

$$S = \int_{1}^{e^{\frac{1}{\alpha}}} \left( \frac{e}{x^{\alpha}} - 1 \right) \frac{\log x}{x} dx$$

この定積分を計算するため、$t = \log x$ と置換する。 $dt = \frac{1}{x} dx$ であり、$x$ と $t$ の対応は以下のようになる。 $x = 1$ のとき $t = 0$ $x = e^{\frac{1}{\alpha}}$ のとき $t = \frac{1}{\alpha}$

また、$x = e^t$ であるから、$x^{\alpha} = e^{\alpha t}$ となる。 これを積分に代入する。

$$S = \int_{0}^{\frac{1}{\alpha}} \left( \frac{e}{e^{\alpha t}} - 1 \right) t dt$$

$$= \int_{0}^{\frac{1}{\alpha}} t e^{1-\alpha t} dt - \int_{0}^{\frac{1}{\alpha}} t dt$$

第1項について、部分積分を用いて計算する。

$$\int_{0}^{\frac{1}{\alpha}} t e^{1-\alpha t} dt = \left[ t \left( -\frac{1}{\alpha} e^{1-\alpha t} \right) \right]_{0}^{\frac{1}{\alpha}} - \int_{0}^{\frac{1}{\alpha}} 1 \cdot \left( -\frac{1}{\alpha} e^{1-\alpha t} \right) dt$$

$$= -\frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\alpha} e^{0} - 0 + \frac{1}{\alpha} \int_{0}^{\frac{1}{\alpha}} e^{1-\alpha t} dt$$

$$= -\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\alpha} \left[ -\frac{1}{\alpha} e^{1-\alpha t} \right]_{0}^{\frac{1}{\alpha}}$$

$$= -\frac{1}{\alpha^2} - \frac{1}{\alpha^2} \left( e^0 - e^1 \right)$$

$$= -\frac{1}{\alpha^2} - \frac{1}{\alpha^2} (1 - e) = \frac{e-2}{\alpha^2}$$

第2項の積分を計算する。

$$\int_{0}^{\frac{1}{\alpha}} t dt = \left[ \frac{1}{2} t^2 \right]_{0}^{\frac{1}{\alpha}} = \frac{1}{2\alpha^2}$$

以上より、求める面積 $S$ は以下のようになる。

$$S = \frac{e-2}{\alpha^2} - \frac{1}{2\alpha^2} = \frac{2e - 4 - 1}{2\alpha^2} = \frac{2e - 5}{2\alpha^2}$$

解法2

面積 $S$ を求める定積分の立式までは解法1と同様である。

$$S = \int_{1}^{e^{\frac{1}{\alpha}}} \left( \frac{e}{x^{\alpha}} - 1 \right) \frac{\log x}{x} dx$$

$$= e \int_{1}^{e^{\frac{1}{\alpha}}} x^{-\alpha - 1} \log x dx - \int_{1}^{e^{\frac{1}{\alpha}}} x^{-1} \log x dx$$

置換を行わず、そのまま部分積分を用いて計算する。 第1項の積分について部分積分を行う。

$$\int_{1}^{e^{\frac{1}{\alpha}}} x^{-\alpha - 1} \log x dx = \left[ \frac{x^{-\alpha}}{-\alpha} \log x \right]_{1}^{e^{\frac{1}{\alpha}}} - \int_{1}^{e^{\frac{1}{\alpha}}} \frac{x^{-\alpha}}{-\alpha} \cdot \frac{1}{x} dx$$

$$= -\frac{1}{\alpha} \left( \left( e^{\frac{1}{\alpha}} \right)^{-\alpha} \log e^{\frac{1}{\alpha}} - 1^{-\alpha} \log 1 \right) + \frac{1}{\alpha} \int_{1}^{e^{\frac{1}{\alpha}}} x^{-\alpha - 1} dx$$

$$= -\frac{1}{\alpha} \left( e^{-1} \cdot \frac{1}{\alpha} - 0 \right) + \frac{1}{\alpha} \left[ \frac{x^{-\alpha}}{-\alpha} \right]_{1}^{e^{\frac{1}{\alpha}}}$$

$$= -\frac{1}{\alpha^2 e} - \frac{1}{\alpha^2} \left( e^{-1} - 1 \right)$$

$$= -\frac{2}{\alpha^2 e} + \frac{1}{\alpha^2}$$

第2項の積分を計算する。

$$\int_{1}^{e^{\frac{1}{\alpha}}} x^{-1} \log x dx = \left[ \frac{1}{2} (\log x)^2 \right]_{1}^{e^{\frac{1}{\alpha}}} = \frac{1}{2\alpha^2}$$

これらを面積の式に代入する。

$$S = e \left( -\frac{2}{\alpha^2 e} + \frac{1}{\alpha^2} \right) - \frac{1}{2\alpha^2}$$

$$= -\frac{2}{\alpha^2} + \frac{e}{\alpha^2} - \frac{1}{2\alpha^2} = \frac{2e - 5}{2\alpha^2}$$

解説

被積分関数の符号を調べ、正しく積分区間を設定することが第一歩である。 積分区間の設定さえできれば、あとは数学IIIの典型的な積分計算となる。 対数関数 $\log x$ を含む積分では、解法1のように $t = \log x$ と置換することで、見慣れた指数関数と多項式の積の積分に帰着させることができる。被積分関数の形から置換積分を見越せると、計算の見通しが良くなりミスを防ぎやすくなる。もちろん解法2のように直接部分積分を行っても十分に計算可能である。

答え

$$\frac{2e - 5}{2\alpha^2}$$