数学3 定積分・面積 問題 41 解説

方針・初手

被積分関数 $\frac{x}{1+x^2}$ の分母 $1+x^2$ を微分すると $2x$ となり、分子の $x$ と定数倍の違いしかないことに着目する。これにより、公式 $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log|f(x)| + C$ の形に帰着させるか、置換積分法を用いて計算することができる。

解法1

被積分関数の分母を微分した形を分子に作り出す。

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{2x}{1+x^2} dx$$

$$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{(1+x^2)'}{1+x^2} dx$$

積分区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において $1+x^2 > 0$ であるため、絶対値記号は不要である。

$$= \frac{1}{2} \left[ \log(1+x^2) \right]_{0}^{1}$$

$$= \frac{1}{2} (\log 2 - \log 1)$$

$$= \frac{1}{2} \log 2$$

解法2

$t = 1+x^2$ とおく置換積分を行う。

両辺を $x$ で微分すると $\frac{dt}{dx} = 2x$ より、$xdx = \frac{1}{2} dt$ となる。

$x$ と $t$ の積分区間の対応は以下の通りである。 $x : 0 \to 1$ のとき、$t : 1 \to 2$

したがって、与えられた定積分は次のように変換できる。

$$\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^2} dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{2} dt$$

$$= \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{t} dt$$

$$= \frac{1}{2} \left[ \log|t| \right]_{1}^{2}$$

$$= \frac{1}{2} (\log 2 - \log 1)$$

$$= \frac{1}{2} \log 2$$

解説

分数の形をした関数の積分では、まず「分子が分母の導関数（またはその定数倍）になっていないか」を確認することが基本の手順である。今回は $(1+x^2)' = 2x$ となるため、この方針が有効に働く。解法1のように明示的な置換を行わずに式変形のみで処理できるようになると、計算手順が減り、解答時間の短縮につながる。

答え

$$\frac{1}{2} \log 2$$