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数学3 定積分・面積問題 42 解説

方針・初手

被積分関数が $\frac{1}{a^2+x^2}$ の形をしている定積分である。この形を見たら、$x = a\tan\theta$ とおく置換積分を実行するのが定石である。今回は $a=1$ に相当するため、$x = \tan\theta$ と置換して計算を進める。

解法1

$x = \tan\theta$ とおく。

積分区間について、$x$ が $0$ から $1$ まで変化するとき、$\theta$ の範囲を $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ に制限して考えると、$\theta$ は $0$ から $\frac{\pi}{4}$ まで変化する。

$$\begin{array}{c|ccc} x & 0 & \to & 1 \\ \hline \theta & 0 & \to & \frac{\pi}{4} \end{array}$$

また、両辺を $\theta$ で微分すると、

$$\frac{dx}{d\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta}$$

より、

$$dx = \frac{1}{\cos^2\theta} d\theta$$

となる。

したがって、三角関数の相互関係 $1+\tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$ を用いると、与えられた定積分は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\tan^2\theta} \cdot \frac{1}{\cos^2\theta} d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2\theta \cdot \frac{1}{\cos^2\theta} d\theta \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} 1 d\theta \\ &= \left[ \theta \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\ &= \frac{\pi}{4} - 0 \\ &= \frac{\pi}{4} \end{aligned}$$

解説

分母に $a^2+x^2$ を含む関数の積分では、$x = a\tan\theta$ とおく置換積分が極めて有効である。この置換を行う最大の理由は、$dx$ を $d\theta$ に変換する際に出てくる $\frac{1}{\cos^2\theta}$ と、$1+\tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$ の関係によって作られる項が互いに打ち消し合い、積分が非常に簡単な形になるためである。大学入試でも頻出の基本処理であるため、直ちに反応できるようにしておきたい。