数学3 定積分・面積 問題 43 解説

方針・初手

被積分関数の中に積分変数 $t$ と定数扱いできる変数 $x$ が混在しているため、加法定理を用いて $x$ を積分の外へくくり出す。 積分区間に変数が含まれていない定積分は定数となるため、これらを文字でおいて関数 $f(x)$ の形を決定し、元の式に代入して係数比較（条件式の導出）を行う。

解法1

与えられた等式に対して加法定理を用いると、

$$f(x) = a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(t) (\cos t \cos x + \sin t \sin x) dt$$

$$f(x) = a \cos x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(t) \cos t dt + a \sin x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(t) \sin t dt$$

となる。ここで $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(t) \cos t dt$ および $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(t) \sin t dt$ は定数であるから、それぞれを $A, B$ とおくと、

$$f(x) = a A \cos x + a B \sin x$$

と表せる。これを $A, B$ の定義式に代入すると、

$$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (a A \cos t + a B \sin t) \cos t dt$$

$$A = a A \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t dt + a B \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t \cos t dt$$

ここで、それぞれの定積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t dt &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2t}{2} dt \\ &= \left[ \frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \sin 2t \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{\pi}{4} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t \cos t dt &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sin 2t dt \\ &= \left[ -\frac{1}{4} \cos 2t \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= -\frac{1}{4} (-1) - \left(-\frac{1}{4} \cdot 1\right) \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$

これらを $A$ の式に代入して整理すると、

$$A = \frac{\pi}{4} a A + \frac{1}{2} a B$$

$$\left( 1 - \frac{\pi}{4} a \right) A - \frac{1}{2} a B = 0 \quad \cdots \text{(1)}$$

同様に、$B$ についても計算する。

$$B = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (a A \cos t + a B \sin t) \sin t dt$$

$$B = a A \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t \cos t dt + a B \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t dt$$

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t dt &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2t}{2} dt \\ &= \left[ \frac{1}{2} t - \frac{1}{4} \sin 2t \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{\pi}{4} \end{aligned}$$

であるから、

$$B = \frac{1}{2} a A + \frac{\pi}{4} a B$$

$$-\frac{1}{2} a A + \left( 1 - \frac{\pi}{4} a \right) B = 0 \quad \cdots \text{(2)}$$

ここで、$A = B = 0$ と仮定すると $f(x) = 0$ となり、「定数 $0$ とは異なる関数」という問題の条件に矛盾する。したがって、$A, B$ の少なくとも一方は $0$ ではない。

(1) の両辺に $\left( 1 - \frac{\pi}{4} a \right)$ を掛け、(2) の両辺に $\frac{1}{2} a$ を掛けて足し合わせると、

$$\left\{ \left( 1 - \frac{\pi}{4} a \right)^2 - \frac{1}{4} a^2 \right\} A = 0$$

となる。同様に、(1) に $\frac{1}{2} a$ を掛け、(2) に $\left( 1 - \frac{\pi}{4} a \right)$ を掛けて足し合わせると、

$$\left\{ \left( 1 - \frac{\pi}{4} a \right)^2 - \frac{1}{4} a^2 \right\} B = 0$$

となる。$A, B$ の少なくとも一方は $0$ でないから、これらの等式が成り立つためには、

$$\left( 1 - \frac{\pi}{4} a \right)^2 - \frac{1}{4} a^2 = 0$$

であることが必要十分である。これを解く。

$$\left( 1 - \frac{\pi}{4} a - \frac{1}{2} a \right) \left( 1 - \frac{\pi}{4} a + \frac{1}{2} a \right) = 0$$

$$\left( 1 - \frac{\pi + 2}{4} a \right) \left( 1 - \frac{\pi - 2}{4} a \right) = 0$$

よって、

$$a = \frac{4}{\pi + 2}, \frac{4}{\pi - 2}$$

解説

定積分を含む方程式の典型問題である。被積分関数に $x$ と $t$ が混在している場合は、$x$ を定数とみなして積分の外へ出すことが基本の手法となる。本問では加法定理を用いて分離している。

定積分を定数としておき連立方程式を導いた後、「$f(x)$ が定数 $0$ になるわけではない」という条件から、連立方程式が $A=B=0$ 以外の解（非自明な解）をもつための条件を導くのが最大のポイントである。これは行列を用いて表した際の行列式が $0$ になる条件と同値であるが、高校数学の範囲では上記のように一方の文字を消去して係数が $0$ になることを示すのが一般的な記述方法である。

答え

$$a = \frac{4}{\pi + 2}, \frac{4}{\pi - 2}$$